热门试卷

（1）解：因为f（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1．

因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3，

所以f'（e）=3，即a+lne+1=3．所以a=1．

（2）解：由（1）知，f（x）=x+xlnx，所以对任意x＞1恒成立，即对任意x＞1恒成立．

令，则，

令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则，

所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．

因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，

所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．

当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，

当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，

所以函数在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．

所以．

所以k＜[g（x）]min=x0∈（3，4）．故整数k的最大值是3．

（3）证明：由（2）知，是[4，+∞）上的增函数，

所以当n＞m≥4时，．

即n（m﹣1）（1+lnn）＞m（n﹣1）（1+lnm）．

整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+（n﹣m）．

因为n＞m，所以mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．

即lnnmn+lnmm＞lnmmn+lnnn．即ln（nmnmm）＞ln（mmnnn）．

所以（mnn）m＞（nmm）n．

解：（1）∵函数f（x）=，g（x）=alnx，a∈R．

f′（x）=，g′（x）=（x＞0），

由已知得解得

∴两条曲线交点的坐标为（e2，e）．

切线的斜率为k=f′（e2）=，

∴切线的方程为y﹣e=（x﹣e2）．

（2）由条件知h（x）=﹣alnx（x＞0），

∴h′（x）=﹣=，

①当a＞0时，令h′（x）=0，解得x=4a2．

∴当0＜x＜4a2时，h′（x）＜0，h（x）在（0，4a2）上单调递减；

当x＞4a2时，h′（x）＞0，h（x）在（4a2，+∞）上单调递增．

∴x=4a2是h（x）在（0，+∞）上的惟一极值点，且是极小值点，

从而也是h（x）的最小值点．

∴最小值φ（a）=h（4a2）=2a﹣aln（4a2）=2a[1﹣ln （2a）]．

②当a≤0时，h′（x）=＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，无最小值．

故h（x）的最小值φ（a）的解析式为φ（a）=2a[1﹣ln （2a）]（a＞0）．

（3）证明：由（2）知φ（a）=2a（1﹣ln 2﹣ln a），则φ′（a）=﹣2ln （2a）．

令φ′（a）=0，解得a=．

当0＜a＜时，φ′（a）＞0，

∴ φ（a）在（0，）上单调递增；

当a＞时，φ′（a）＜0，

∴φ（a）在（，+∞）上单调递减．

∴φ（a）在a=处取得极大值φ（）=1．

∴φ（a）在（0，+∞）上有且只有一个极值点，

∴φ（）=1也是φ（a）的最大值．

∴当a∈（0，+∞）时，总有φ（a）≤1．

解：（Ⅰ）依题意知，直线的斜率，

∵，故直线与函数f（x）的图像的切点坐标是(1，0)，

∴直线的方程为y=x-1，

又∵直线与的图像也相切，

∴由，得，

令，

∵m＜0，

∴解得m=-2。

（Ⅱ），

∴，

∴，

令＞0，解得：-1＜x＜0；

令＜0，解得：x＜-1（舍去）或x＞0，

∴h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，

∴当x=0时，h（x）取得最大值h（0）=2。

（Ⅲ）∵由（II）知：当x＞-1时，，即，

∴当x＞-1时，，当且仅当x=0时等号成立，

∵，故，

∴。

解：（Ⅰ）由已知得，由f'（x）=0，得x1=0，x2=a．

∵x∈[﹣1，1]，1＜a＜2，

∴当x∈[﹣1，0）时，f'（x）＞0，f（x）递增；

当x∈（0，1]时，f'（x）＜0，f（x）递减．

∴f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为f（0）=b，

∴b=1．

又，，

∴f（﹣1）＜f（1），即，得．

故，b=1为所求．

（Ⅱ）解：由（1）得f（x）=x3﹣2x2+1，f'（x）=3x2﹣4x，点P（2，1）在曲线f（x）上．

（1）当切点为P（2，1）时，切线l的斜率k=f'（x）|x=2=4，

∴l的方程为y﹣1=4（x﹣2），即4x﹣y﹣7=0．

（2）当切点P不是切点时，设切点为Q（x0，y0）（x0≠2），

切线l的斜率，

∴l的方程为y﹣y0=（3x02﹣4x0）（x﹣x0）．

又点P（2，1）在l上，

∴1﹣y0=（3x02﹣4x0）（2﹣x0），

∴1﹣（x03﹣2x02+1）=（3x02﹣4x0）（2﹣x0），

∴x02（2﹣x0）=（3x02﹣4x0）（2﹣x0），

∴x02=3x02﹣4x0，即2x0（x0﹣2）=0，

∴x0=0．

∴切线l的方程为y=1．

故所求切线l的方程为4x﹣y﹣7=0或y=1．

（或者：由（1）知点A（0，1）为极大值点，所以曲线f（x）的点A处的切线为y=1，恰好经过点P（2，1），符合题意．）

（Ⅲ）解：F（x）=（3x2﹣3ax+6x+1）e2x=[3x2﹣3（a﹣2）x+1]e2x．

∴F'（x）=[6x﹣3（a﹣2）]e2x+2[3x2﹣3（a﹣2）x+1]e2x                =[6x2﹣6（a﹣3）x+8﹣3a]e2x．

二次函数y=6x2﹣6（a﹣3）x+8﹣3a的判别式为

△=36（a﹣3）2﹣24（8﹣3a）=12（3a2﹣12a+11）=12[3（a﹣2）2﹣1]，

令△≤0，得：．

令△＞0，得．

∵e2x＞0，1＜a＜2，

∴当时，F'（x）≥0，函数F（x）为单调递增，极值点个数为0；

当时，此时方程F'（x）=0有两个不相等的实数根，

根据极值点的定义，可知函数F（x）有两个极值点．