热门试卷

解：（1），，．

当时，

又

所以在处的切线方程为。

（2）函数的定义域为

当时，，

所以

即在区间上没有实数根．                       

当时，，

令

只要讨论根的个数即可

，

当时，，是减函数；

当时，，是增函数

所以在区间上的最小值为

时，，即有两个实根。

解：（Ⅰ）由f（x）=ex（x2+ax﹣a）可得，f′（x）=ex[x2+（a+2）x）]，

当a=1时，f（1）=e，f′（1）=4e．

所以 曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e=4e（x﹣1），

即y=4ex﹣3e．

（Ⅱ） 令f′（x）=ex[x2+（a+2）x）]=0，

解得x=﹣（a+2）或x=0．

当﹣（a+2）≤0，即a≥﹣2时，在区间[0，+∞）上，f′（x）≥0，

所以f（x）是[0，+∞）上的增函数．

所以方程f（x）=k在[0，+∞）上不可能有两个不相等的实数根．

当﹣（a+2）＞0，即a＜﹣2时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表

由上表可知函数f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（﹣（a+2））=．

因为 函数f（x）是（0，﹣（a+2））上的减函数，是（﹣（a+2），+∞）上的增函数，

且当x≥﹣a时，有f（x）≥e﹣a（﹣a）＞﹣a．

所以要使方程x的方程f（x）=k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根，

k的取值范围必须是（，﹣a]．

解：（I）求导函数，可得 

∵x=1是函数f（x）的极值点，函数f（x）在x=2的切线平行于3x﹣4y+4=0，

 ∴f′（1）=0，f′（2）= 

∴ 

∴b=﹣ ，c= 

∴函数f（x）的解析式为 ；

（II） （x＞0）

①若c＜0，则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0，即 

∴ 

②若0＜c＜1，则f极大（x）=f（c）=clnc+ ，f极小（x）=f（1）= 

∵b=﹣1﹣c，

∴f极大（x）=clnc ，f极小（x）= 

∴f（x）=0不可能有两解

③若c≥1，则f极小（x）=clnc ，f极大（x）= ，

∴f（x）=0只有一解

综上可知，实数c的取值范围为

解：（1）由题意，∵函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1和x=3处有极值

∴f′（x）=3x2+6ax+b的解为﹣1，3

∴ ，

∴ 

（2）由（1）知，f′（x）=3x2﹣6x﹣9

当x=1时，f′（1）=3﹣6﹣9=﹣12

当x=1时，f（1）=1﹣3﹣9+1=﹣10

∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y+10=﹣12（x﹣1），即12x+y﹣2=0．