热门试卷

解：（1）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x0，y0）处的切线相同．

∴f′（x）=x+2a，g′（x）=，

由题意f（x0）=g（x0），

f′（x0）=g′（x0）即，

由x0+2a=得：x02+2ax0﹣3a2=0，

即（x﹣a）（x+3a）=0，解得x0=a或x0=﹣3a（舍去）．

即有b=a2+2a2﹣3a2lna=a2﹣3a2lna，

令h（t）=t2﹣3t2lnt（t＞0），

则h′（t）=5t﹣6tlnt﹣3t=2t（1﹣3lnt），

于是当t（1﹣3lnt）＞0，即0＜t＜时，h′（t）＞0；

当t（1﹣3lnt）＜0，即t＞时，h′（t）＜0，

故h（t）在（0，）上为增函数，在（，+∞）上为减函数，

则h（t）在（0，+∞）的最大值为h（）=﹣3ln=；

（2）F（x）=f（x）﹣g（x）=，

则F′（x）=x+2a﹣=（x＞0）．

故F（x）在（0，∞）为减函数，在（a，+∞）为增函数，

于是函数F（X）在x=a时有极小值F（a），

F（X0）=f（x0）﹣g（x0）=0无极大值．

解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）．

即﹣ax3﹣bx+c=﹣ax3﹣bx﹣c．

解得c=0.

又直线6x+y+4=0的斜率为﹣6，

所以f '（1）=3a+b=﹣6．

把x=1代入6x+y+4=0中得

f（1）=﹣10

点（1，﹣10）在函数f（x）的图象上，则a+b=﹣10

解得a=2，b=﹣12．

所以a=2，b=﹣12，c=0.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3﹣12x．所以．

所以函数f（x）的单调增区间是和．

因为f（﹣1）=10，，f（3）=18，

f（x）在[﹣1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是．

解：（1）当a=2，f（x）=（x2-1）ex， f '（x）=（x2+2x-1）ex 

∴f '（1）=2e

又f（1）=0，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为

y=2e（x-1），即2ex-y-2e=0。       

（2）因为f '（x）=（x2+2x-a+1）ex ，x1+x2=-2，x1x2=-a+1，

因为 |x1+x2|≥|x1x2|-1，  所以2≥|-a+1|-1，解得-2≤a≤4。

又由△>0得a>0，所以0

又由f '（x）=（x2+2x-a+1）ex=0，x1=

因为0 ∈[-3，-1）

又因为，

所以a=（-1-x1）2=x12+2x1+1

所以，

令=0得x1=-2或2，

在区间[-3，-1）上，g（x1），g'（x1）变化状态如下表：

所以当x1=-2时，g（x1）取得最大值，所以 

（1）由导数的几何意义=12  

∴   

∴  

∴   

（2）∵ ，

∴  由 得，

∵ ［-1，1］，

∴ 当［-1，0）时，，递增；当（0，1］时，，递减。

∴ 在区间［-1，1］上的最大值为

∵ ，

∴ =1

∵ ，

∴

∴ 是函数的最小值，

∴   

∴

∴ =