- 导数的概念及其几何意义
- 共3697题
如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））=（ ）；函数f（x）在x=1处的导数f′（1）=（ ）。
正确答案
2；-2
函数
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列
正确答案
解：（1）
∴
（2）
∴
∴y=f（x）在点（n，f（n））处的切线方程为
令
∴
∵仅当n=5时取得最小值，
∴
∴λ的取值范围为（9，11）。
设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lgxn，则a1+a2+…+a99的值为（ ）。
正确答案
-2
设函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且满足f（x-2）= -f（x）对一切x∈R恒成立，当x∈[0，1]时，
f（x）=x3，给出下列四个命题：
①f（x）是以4为周期的周期函数；
②f（x）在[1，3]上的解析式为f（x）=（2-x）3；
③f（x）图象的对称轴有x=±1；
④f（x）在点（
⑤函数f（x）在R上无最大值。
其中正确命题的序号是（ ）（写出所有正确命题的序号）。
正确答案
①②③④
已知函数f(x)=
(Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
(Ⅱ)设函数h(x)=f(x)-g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值ψ(a)的解析式；
(Ⅲ)对(Ⅱ)中的ψ(a)，证明：当a∈(0，+∞)时，ψ(a)≤1．
正确答案
解：(Ⅰ)
由已知得
∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)，
切线的斜率为
∴切线的方程为y-e=(x-e2)。
(Ⅱ)由条件知
∴
(i)当a＞0时，令h′(x)=0，解得x=4a2，
∴当0＜x＜4a2时，h′(x)＜0，h(x)在(0，4a2)上递减；
当x＞4a2时，h′(x)＞0，h(x)在(4a2，+∞)上递增，
∴x=4a2是h(x)在(0，+∞)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点，
∴最小值ψ(a)=h(4a2)=2a-aln4a2=2a(1-ln2a)；
(ii)当a≤0时，
故h(x)的最小值ψ(a)的解析式为ψ(a)=2a（1-ln 2a）(a＞0)．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知ψ(a)=2a（1-ln 2-lna），
则
令ψ′(a)=0，解得
当
当
∴ψ(a)在
∵ψ(a)在（0，+∞）上有且只有一个极值点，所以
∴当a∈(0，+∞)时，总有ψ(a)≤1．
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