热门试卷

证明：（Ⅰ）对任意固定的n≥1，

因为焦点F(0，1)，所以可设直线AnBn的方程为y-1=，

将它与抛物线方程联立得，

由一元二次方程根与系数的关系得。

（Ⅱ）对任意固定的n≥1，

利用导数知识易得抛物线在An处的切线的斜率，

故在An处的切线方程为，①

类似地，可求得在Bn处的切线方程为，②

由②减去①得，

从而，

，

，③

将③代入①并注意得交点Cn的坐标为（，-1），

由两点间的距离公式得，

从而，

现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，

(Ⅰ)解：，则有，

解得；

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，，

令，

则，

(ⅰ)当时，，

若，则g′(x)＜0，g(x)是减函数，所以g(x)＜g(1)=0，

即f(x)＜lnx，故f(x)≥lnx在[1，+∞）上不恒成立；

(ⅱ)当时，，

若x＞1，则g′(x)＞0，g(x)是增函数，所以g(x)＞g(1)=0，

即f(x)＞lnx．故当x≥1时，f(x)≥lnx；

综上所述，所求a的取值范围为。

(Ⅲ)证明：用数学归纳法证明，

①当n=1时，左边=1，右边=，不等式成立；

②假设n=k时，不等式成立，就是

，

那么，

由(Ⅱ)知当时，有f(x)≥lnx(x≥1)，

令，有，

令，得，

∴，

∴，

这就是说，当n=k+1时，不等式也成立．

根据①和②，可知不等式对任何n∈N*都成立。

解：（1）∵，

∴．

∴．

（2）∵Cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn，

∴设Cn的方程为．

把Dn（0，n2+1）代入上式，得a=1，

∴Cn的方程为y=+（2n+3）x+n2+1．

∵kn=y'|x=0=2n+3，

∴，

∴==．

（3）T={y|y=﹣（12n+5），n∈N*}={y|y=﹣2（6n+1）﹣3，n∈N*}，

∴S∩T=T，T中最大数a1=﹣17．

设{}公差为d，则a10=﹣17+9d∈（﹣265，﹣125．）

由此得．

又∵∈T．

∴d=﹣12m（m∈N*）

∴d=﹣24，

∴=7﹣24n（n∈N*，n≥2）．

解：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，

依题意x1≠0，y1＞0，y2＞0，

由y=x2， ①

得y′=x，

∴过点P的切线的斜率k切=x1，

∴直线l的斜率kl=，

∴直线l的方程为，

联立①②消去y，得，

∵M是PQ的中点，

∴，

消去x1，得，

∴PQ中点M的轨迹方程为；

（Ⅱ）设直线l：y=kx+b，

依题意k≠0，b≠0，则T(0，b)，

分别过P、Q作PP′⊥x轴，QQ′⊥y轴，垂足分别为P′、Q′，

则，

由消去x，得y2-2(k2+b)y+b2=0， ③

则y1+y2=2(k2+b)，y1y2=b2，

∴，

∵y1、y2可取一切不相等的正数，

∴的取值范围是（2，+∞）。