热门试卷

解（I）a=1时，

，

于是，

所以函数f（x）的图象在点A（0，f（0））处的切线方程为，

即；

（II）

，

∵，

∴只需讨论的符号，

ⅰ）当a＞2时，＞0，这时＞0，所以函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；

ⅱ）当a=2时，≥0，函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；

ⅲ）当0＜a＜2时，令=0，解得，

当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）在，为增函数，f（x）在为减函数；

（Ⅲ）当a∈（1，2）时，∈（0，1），

由（2）知f（x）在上是减函数，在上是增函数，

故当x∈（0，1）时，，

所以当x∈（0，1）时恒成立，等价于恒成立，

当a∈（1，2）时，，设，则，

表明g（t） 在（0，1）上单调递减，

于是可得，即a∈（1，2）时恒成立，

因此，符合条件的实数a不存在。

解：（1）f′（x）=-2bx，f′（2）=-4b，f（2）=aln2-4b，

∴-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2，

解得a=2，b=1；

（2）f（x）=2lnx-x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x2+m，

则h′（x）=，令h′（x）=0，得x=1（x=-1舍去），

在[，e]内，当x∈[，1）时，h′（x）＞0，所以h（x）是增函数；

当x∈（1，e]时，h′（x）＜0，所以h（x）是减函数，

则方程h（x）=0在[，e]内有两个不等实根的充要条件是

即1＜m≤e2-2；

（3）g（x）=2lnx-x2-nx，g′（x）=-2x-n，

假设结论成立，则有

①-②，得

∴，

由④得，

∴，即，

即，⑤，

令（0＜t＜1），

则u′（t）=＞0，所以u（t）在0＜t＜1上是增函数，

u（t）＜u（1）=0，

所以⑤式不成立，与假设矛盾，

所以g′（x0）≠0。

解：（Ⅰ）依题意，令f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故，

由于，得，

∵b＞-1，c＞0，

∴。

（Ⅱ），

，

令F′（x）=0，即，

则，

若△=0，则F′（x）=0有一个实根x，且F′（x）的变化如下：

于是不是函数F（x）的极值点；

若△＞0，则F′（x）=0有两个不相等的实根，且F′（x）的变化如下：

由此，是函数F（x）的极大值点，是函数F（x）的极小值点，

综上所述，当且仅当△=0时，函数F（x）在（-∞，+∞）内有极值点，

由得，

∵，

∴，解之得，

故所求c的取值范围是。

（Ⅰ）解：，

于是，

因a，b∈Z，

故；

（Ⅱ）证明：已知函数都是奇函数，

所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形，

而，

可知，函数g（x）的图像按向量平移，即得到函数f（x）的图像，

故函数f（x）的图像是以点（1，1）为中心的中心对称图形；

（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点，

由知，

过此点的切线方程为，

令x=1得，切线与直线x=1交点为；

令y=x得，切线与直线y=x交点为；

直线x=1与直线y=x的交点为（1，1），

从而所围三角形的面积为；

所以，所围三角形的面积为定值2。