导数的概念及其几何意义
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导数的概念及其几何意义
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题型：简答题

简答题

已知函数f(x)=x(x-a)(x-b)，点A(s，f(s))，B(t，f(t))，

(Ⅰ)若a=0，b=3，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)当a=0时，若不等式f(x)+x3lnx+x2≥0对任意的正实数x恒成立，求b的取值范围；

(Ⅲ)若0＜a＜b，函数f(x)在x=s和x=t处取得极值，且a+b＜2，求证：直线OA与直线OB不可能垂直（O是坐标原点）．

正确答案

解：(Ⅰ)f(x)=x3-3x2，f′(x)=3x2-6x，

∴k=-3，

又f(1)=-2，

∴所求切线方程为3x+y-1=0。

(Ⅱ)当a=0时，x2(x-b)+x3lnx+x2≥0，即b≤x+xlnx+1，

令g(x)=x+xlnx+l，g′(x)=lnx+2，

由g′(x)=0，得x=e-2，

由上表知g（x）的最小值为，

所以有。

(Ⅲ)假设，即，

故(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1，即[st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-1，

由s，t为f′(x)=3x2-2(a+b)x+ab=0的两根可得，，

从而有，

，

即，这与a+b＜2矛盾，

故直线OA与直线OB不可能垂直。

题型：简答题

简答题

已知函数f （x ）=ex+，

（Ⅰ）当时，求函数f（x）在x=0处的切线方程；

（Ⅱ）函数f（x）是否存在零点，若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由。

正确答案

解：（Ⅰ），，，

当时，，

又，

则在处的切线方程为。

（Ⅱ）函数的定义域为，

当时，，

所以，

即在区间上没有零点，

当时，，

令，

只要讨论的零点即可，，，

当时，，是减函数；

当时，，是增函数，

所以在区间最小值为；

显然，当时，，

所以是的唯一的零点；

当时，，所以没有零点；

时，，所以有两个零点。

题型：简答题

简答题

已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行。

（Ⅰ）求k的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数，证明：对任意。

正确答案

解：（I），由已知，，

∴k=1。

（II）由（I）知，

设，

则，即在上是减函数，

由知，当时，从而，

当时，从而

综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是。

（III）由（II）可知，当时，≤0＜1+，

故只需证明在时成立

当时，＞1，且，

∴

设，，

则，

当时，，

所以当时，取得最大值

所以.

综上，对任意，。

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a，b∈R。

（1）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于a的函数关系式，并求b的最大值；

（2）若b=0时，函数h（x）=f（x）+g（x）-（2a+6）x在（0，4）上为单调函数，求a的取值范围。

正确答案

解：（1）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x0，y0）处的切线相同，

f′（x）=x+2a，g′（x）=，

由题意知f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0）

即，

解得x0=a或x0=-3a（舍去），b=（a＞0），

b'（a）=5a-6alna-3a=2a（1-3lna），

；

（2）

要使h（x）在（0，4）上单调，须h′（x）=x+-6≤0或h′（x）=x+-6≥0在（0，4）上恒成立，

h′（x）=x+-6≤0在（0，4）上恒成立3a2≤-x2+6x在（0，4）上恒成立，

而-x2+6x＞0，且-x2+6x可为足够小的正数，必有a=0或在（0，4）上恒成立

，得a≥3或，

综上，所求a的取值范围为或或a=0。

题型：简答题

简答题

已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R)，

(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0，求实数a的值；

(2)求证：f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1；

(3)若a＜0，且对任意x1，x2∈(0，1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤，求实数a的取值范围。

正确答案

解：(1)因为，所以f′(1)=1-a，

所以曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为1-a，

因为曲线y=f(x)在x=1处的切线为3x-y-3=0，

所以1-a=3，解得a=-2。

(2)①充分性：

当a=1时，f(x)=x-1-lnx，，

所以当x＞1时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(1，+∞)上是增函数；

当0＜x＜1时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(0，1)上是减函数，

所以f(x)≥f(1)=0．

②必要性：

，其中x＞0，

(ⅰ)当a≤0时，因为f′(x)＞0恒成立，所以函数f(x)在(0，+∞)上是增函数，

而f(1)=0，所以当x∈(0，1)时，f(x)＜0，与f(x)≥0恒成立相矛盾，

所以a≤0不满足题意；

(ⅱ)当a＞0时，因为当x＞a时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(a，+∞)上是增函数；

当0＜x＜a时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(0，a)上是减函数，

所以f(x)≥f(a)=a-1-alna，

因为f(1)=0，所以当a≠1时，f(a)＜f(1)=0，此时与f(x)≥0恒成立相矛盾，

所以a=1；

综上所述，f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1．

(3)由(2)可知，当a＜0时，函数f(x)在(0，1]上是增函数，

又函数在(0，1]上是减函数，

不妨设0＜x1≤x2≤1，则，

所以等价于f(x2)-f(x1)≤，

即，

设，

则等价于函数h(x)在区间(0，1]上是减函数，

因为，

所以x2-ax-4≤0在x∈(0，1]上恒成立，即在x∈(0，1]上恒成立，

即a不小于在区间(0，1]内的最大值，

而函数在区间(0，1]上是增函数，

所以的最大值为-3，

所以a≥-3，

又a＜0，

所以a∈[-3，0)．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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