热门试卷

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），

f′（x）=x+a-，

因为f（x）在x=2处的切线与x轴平行，则f′（2）=0，得a=-3；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=，

则f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，

则当x=1时，f（x）有极大值，

当x=2时，f（x）有极小值f（2）=-4+2ln2。

（Ⅲ）令g（x）=x·f′（x）=x2+ax-（a+1），x∈[1，-a]，

依题意，x∈[1，-a]时，-2a2≤g（x）≤2a2恒成立；

即g（x）min≥-2a2且g（x）max≤2a2，而g（x）的对称轴为，

（ⅰ）当时，即当-2＜a＜-1时，

g（x）min=g（1）=0＞-2a2成立，g（x）max=g（-a）=-a-1≤2a2也成立；

故-2＜a＜-1符合题意；

（ⅱ）当时，即a≤-2时，

由，解得（舍），

g（x）max=g（-a）=-a-1≤2a2成立或g（x）max=g（1）=0≤2a2也成立，故a≤-2符合题意；

综合（ⅰ）（ⅱ）知a＜-1都符合题意。

（1）解：求f（x）的导数：，

由此得切线l的方程：。

（2）证明：依题意，切线方程中令y=0，，

其中，

①由，有，

∴，当且仅当；

②当时，，

因此，

且由①，，

所以。

解：（1）由已知，圆的圆心为

圆心到直线的距离d=

解得（舍去）

设l1与抛物线相切点为

得

代入直线方程得

∴；

（2）由（1）知抛物线C1方程为，焦点

设

由（1）知以A为切点的切线l的方程为

令x=0，得切线l交y轴的B点坐标为

所以，

∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边做平行四边形

∴

因为F是定点

所以点M在定直线上；

（3）设直线代入

得

∵

∴

∴的面积S范围是。

解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2+2bx+c，

依题意，

又f′（0）=-3，

∴c=-3，

∴a=1，

∴f（x）=x3-3x；

（Ⅱ）设切点为，

∵f′（x）=3x2-3，

∴，

∴切线方程为，

又切线过点A（2，m），

∴，

∴，

令g（x）=-2x3+6x2-6，

则g′（x）=-6x2+12x=-6x（x-2），

由g′（x）=0得x=0或x=2，

g（x）极小值=g（0）=-6，g（x）极大值=g（2）=2，

画出草图知，当-6＜m＜2时，m=-2x3+6x2-6有三解，

所以m的取值范围是（-6，2）。