热门试卷

解：(Ⅰ)切线l：，即，

代入化简并整理，得

，（*）

由，

得m=0或，

若m=0，代入（*）式，得，与已知矛盾；

若，代入（*）式，得满足条件，

且，

综上，，点N的坐标为。

(Ⅱ)因为，

若，则，即t=2，此时m=9，

故当实数m=9时，，

此时，，

易得，

此时，MN所在直线的方程为y=4x-5。

(Ⅰ)解：设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

l1，l2分别是抛物线C在点A，B处的切线，

∴直线l1的斜率为，直线l2的斜率为，

∵，

∴，得，   ①

∵A，B是抛物线C上的点，

∴，

∴直线l1的方程为，直线l2的方程为，

由，解得：，

∴点D的纵坐标为。

 (Ⅱ)证法一：∵F为抛物线C的焦点，

∴，

∴直线AF的斜率为，

直线BF的斜率为，

∵

，

∴，∴A，B，F三点共线。

证法二：∵F为抛物线C的焦点，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴A，B，F三点共线。

(Ⅲ)解：不存在，

证明如下：假设存在符合题意的圆，

设该圆的圆心为M，依题意，得MA⊥AD，MB⊥BD，且|MA|=|MB|，

由l1⊥l2，得AD⊥BD，

∴四边形MADB是正方形，∴|AD|=|BD|，

∵点D的坐标为（，-1），∴，即p=2，

把点代入直线l1，得，

解得：或，

∴点A的坐标为（4，4）或，

同理可求得点B的坐标为（4，4）或，

由于A，B是抛物线C上的不同两点，

不妨令，

∴，

，

∴|AD|≠|BD|，这与|AD|= |BD|矛盾，

∴经过A，B两点且与l1，l2都相切的圆不存在。

解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=x3-x2+1，f(2)=3；

f′(x)=3x2-3x，f′(2)=6，

所以曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y-3=6(x-2)，即y=6x-9．

(Ⅱ)f′(x)=3ax2-3x=3x(ax-1)，

令f′(x)=0，解得x=0或x=，

以下分两种情况讨论：

(1)若0＜a≤2，则，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：

 当x∈时，f(x)＞0等价于，即，

解不等式组得-5＜a＜5，因此0＜a≤2；

(2)若a＞2，则，

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

 当x∈时，f(x)＞0等价于，即，

解不等式组得或，因此2＜a＜5；

综合(1)和(2)，可知a的取值范围为0＜a＜5．

解：(Ⅰ)对f(x)求导数，得，f′(x)=2x+a，

故切线l的斜率为2x1+a，

由此得切线l的方程为y-(x12+ax1)=(2x1+a)(x-x1)，

令y=0，得。

(Ⅱ)由，得，

设，

对求导数，得，

令，得，

当时，的变化情况如下表：

，

所以，函数g(x1)在上单调递减，在上单凋递增，

从而函数g(x1)的最小值为，

依题意，得，解得：，

即a的取值范围是。