热门试卷

解：，

（Ⅰ）∵函数f（x）在x=-1时取到极值，

∴，

经检验a=-2函数f（x）在x=-1时取到极小值，

∴实数a的值-2；

（Ⅱ）由，

①当，由，

由，

∴函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为；

②当，

同理可得函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为。

（Ⅲ）假设存在满足要求的两点A，B，即在点A、B处的切线都与y轴垂直，则，

即，

∴，

又线段AB与x轴有公共点，

∴，

即，

又a＞1，

解得，

所以当时，存在满足要求的点A、B。

解：(Ⅰ)因为，

所以f′(x)=2ax+b，

又因为曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），

故f(0)=2a+3，

而f(0)=c，

从而c=2a+3，

又曲线y=f(x)在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，

故f′(-1)=0，即-2a+b=0，

因此b=2a；

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，

故当时，bc取得最小值，

此时有，

从而，

，

所以，

令g′(x)=0，解得，

当x∈（-∞，-2）时，g′(x)＜0，故g(x)在x∈（-∞，-2）上为减函数；

当x∈（-2，2）时，g′(x)＞0，故g(x)在x∈（-2，2）上为增函数；

当x∈（2，+∞）时，g′(x)＜0，故g(x)在x∈（2，+∞）上为减函数；

由此可见，函数g(x)的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）。

解：(1)，

①当a≤0时，F′(x)＞0恒成立，F(x)在(0，+∞)上是增函数，F(x)只有一个单调递增区间(0，+∞)，没有最值；

②当a＞0时，，

若0＜x＜，则F′(x)＜0，F(x)在上单调递减；

若x＞，则F′(x)＞0，F(x)在上单调递增，

∴当x=时，F(x)有极小值，也是最小值，

即，

所以当a＞0时，F(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为-alna，无最大值；

(2)若f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，则方程f(x)-g(x)=0有且只有一解，

所以函数F(x)有且只有一个零点，

由(1)的结论可知F(x)min=-alna=0得a=1，

此时，F(x)=，

∴，

∴f(x)与g(x)的图象的唯一公共点坐标为，

又，

∴f(x)与g(x)的图象在点处有共同的切线，其方程为，

即；

综上所述，存在a=1，使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，

且在该点处的公切线方程为。

解：(Ⅰ)，

当x∈和x∈时，f′(x)＜0；

当x∈和x∈时，f′(x)＞0；

因此，f(x)在区间和是减函数，

f(x)在区间和是增函数。

(Ⅱ)设点P的坐标为(x0，f(x0))，

由l过原点知，l的方程为y=f′(x0)x，

因此，f(x0)=x0f′(x0)，

即：x04-3x02+6-x0（4x03-6x0）=0，

整理得(x02+1)(x02-2)=0，解得或，

因此切线l的方程为或。