热门试卷

解：（Ⅰ）由已知，切点为（2，0），

故有f（2）=0，即4b+c+3=0，①

f′（x）=3x2+4bx+c，

由已知，得8b+c+7=0，②

联立①、②，解得c=1，b=1，

于是函数解析式为f（x）；

（Ⅱ），

，

令g′（x）=0，当函数有极值时，△≥0，方程有实根，

由△=4（1-m）≥0，得m≤1，

①当m=1时，g′（x）=0有实根，在左右两侧均有g′（x）＞0，故函数g（x）=0无极值；

②m＜1时，g′（x）=0有两个实根，，

当x变化时，g′（x）、g（x）的变化情况如下表：

故在m时，函数g（x）有极值，

当时，g（x）有极大值；当时，g（x）有极小值。

解：（1）f'（x）=3m﹣1，

依题意，得，即1=3m﹣1，

∴，

把N（1，n）代得，得，

∴

（2）令，则，

当时，f'（x）=2﹣1＞0，f（x）在此区间为增函数

当时，f'（x）=2﹣1＜0，f（x）在此区间为减函数

当时，f'（x）=2﹣1＞0，f（x）在此区间为增函数处取得极大值

因此，当，

要使得不等式f（x）≤k﹣1995对于x∈[﹣1，3]恒成立，则k≥15+1995=2010

所以，存在最小的正整数k=2010，使得不等式f（x）≤k﹣1995对于x∈[﹣1，3]恒成立．

解：（1）由题意得f'（x）=3ax2﹣12ax+3b，f'（2）=﹣3且f（2）=5，

∴即解得a=1，b=3，

∴f（x）=x3﹣6x2+9x+3．

（2）由f（x）=x3﹣6x2+9x+3，

可得f'（x）=3x2﹣12x+9，=x2+x+3+m，

则由题意可得x3﹣6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根，

即g（x）=x3﹣7x2+8x﹣m的图象与x轴有三个不同的交点，

g'（x）=3x2﹣14x+8=（3x﹣2）（x﹣4），

则g（x），g'（x）的变化情况如下表．

则函数f（x）的极大值为，极小值为g（4）=﹣16﹣m．

y=f（x）的图象与的图象有三个不同交点，

则有：解得．

解：（1）当a=0时，

故f′（1）=3e

所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e；

（2）

令f′（x）=0，解得x=-2a或x=a-2

由知，-2a≠a-2

以下分两种情况讨论：

（i）若，则-2a＜a-2，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）在（-∞，-2a），（a-2，+∞）内是增函数，

在（-2a，a-2）内是减函数

函数f（x）在x=-2a处取得极大值f（-2a），且f（-2a）=3ae-2a，

函数f（x）在x=a-2处取得极小值f(a-2)，且f（a-2）=（4-3a）ea-2（ii）若，则-2a>a-2，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）在（-∞，a-2），（-2a，+∞）内是增函数，在（a-2，-2a）内是减函数

函数f（x）在x=a-2处取得极大值f（a-2），且f（a-2）= （4-3a）ea-2函数f（x）在x=-2a处取得极小值f（-2a），且f（-2a）= 3ae-2a。