热门试卷

解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，

所以f（﹣x）=﹣f（x）．

即﹣2x3+12x+c=﹣2x3+12x﹣c．

解得c=0．

因为f'（x）=6x2﹣12，

所以切线的斜率k=f'（1）=﹣6．

因为f（1）=﹣10，所以切点为（1，﹣10）．

所以切线方程为y+10=﹣6（x﹣1）．

即6x+y+4=0．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=6x2﹣12．

所以．

列表如下：

所以函数f（x）的单调增区间是和．

因为f（﹣1）=10，，f（3）=18．

所以f（x）在[﹣1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是．

解：（1）当a=0时，，∴f(3)=1，

∵，曲线在点（3，1）处的切线的斜率，

∴所求的切线方程为y-1=3（x-3），即y=3x-8。

（2）当a=-1时，函数，

∵，令f′(x)=0得，，

当x∈（0，1）时，f′(x)＜0，即函数y=f(x)在（0，1）上单调递减，

当x∈（1，4）时，f′(x)＞0，即函数y=f(x)在（1，4）上单调递增，

∴函数y=f(x)在[0，4]上有最小值，；

又，

∴当a=-1时，函数y=f(x)在[0，4]上的最大值和最小值分别为。

（3）∵，

∴，

①当时，3a=a+2，解得a=1，这时，

函数y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零点，故a=1为所求；

②当时，即，这时，

又函数y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零点，

∴；

③当时，即a＜1，这时，

又函数y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零点，

∴，

综上得当函数y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零点时，或或a=1。

解：（Ⅰ）当a=2时，，，f（1）=2，，

所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=-x+3；

（Ⅱ）存在，使得成立，等价于：

考察，）

由上表可知：

，

所以满足条件的最大整数M=4；

（Ⅲ）解法一：对任意的s，t∈，都有f（s）≥g（t）成立，

等价于：在区间上，函数f（x）的最小值不小于g（x）的最大值，

由（2）知，在区间上，g（x）的最大值为g（2）=1。

f（1）=a≥1，下证当a≥1时，在区间上，函数f（x）≥1恒成立。

当a≥1且时，，

记，，

当，；当

所以函数h（x）=在区间上递减，在区间(1，2]递增，

，即，所以当且时，成立，

即对任意s，t，都有；

解法二：当时，恒成立，

等价于恒成立，记，，

记，，由于，

所以在上递减，当时，，

时，，即函数h（x）=在区间上递增，在区间上递减，

所以，所以a≥1。

解：（1）因为f（1）=b，由点（1，b）在x+y=1上，可得1+b=1，即b=0

因为f′（x）=anxn-1-a（n+1）xn，所以f′（1）=-a．

又因为切线x+y=1的斜率为-1，

所以-a=-1，即a=1，

故a=1，b=0 。

（2）由（1）知，f（x）=xn（1-x），则有f′（x）=（n+1）xn-1（-x），

令f′（x）=0，解得x=在（0，）上，导数为正，

故函数f（x）是增函数；在（，+∞）上导数为负，故函数f（x）是减函数；

故函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（）=（）n（1-）=。

（3）令φ（t）=lnt-1+，则φ′（t）=-=（t＞0）

在（0，1）上，φ′（t）＜0，故φ（t）单调减；

在（1，+∞），φ′（t）＞0，故φ（t）单调增；

故φ（t）在（0，∞）上的最小值为φ（1）=0，

所以φ（t）＞0（t＞1）

则lnt＞1-，（t＞1），

令t=1+，得ln（1+）＞，

即ln（1+）n+1＞lne

所以（1+）n+1＞e，

即＜

由（2）知，f（x）≤＜，

故所证不等式成立。