- 导数的概念及其几何意义
- 共3697题
已知函数f（x）=
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间，并求出f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值．
正确答案
解：（1）f′（x）=x2﹣2ax+a2﹣1，
∵（1，f（1））在x+y﹣3=0上，
∴f（1）=2，
∵（1，2）在y=f（x）上，
∴2=
又f′（1）=﹣1，
∴a2﹣2a+1=0，
解得a=1，b=
（2）∵f（x）=
∴f′（x）=x2﹣2x，
由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点，所以有
所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．
∵f（0）=
∴在区间[﹣2，4]上的最大值为8
已知函数f（x）=ex（x2+ax-a），其中a是常数，
（1）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[0，+∞)上的最小值。
正确答案
（1 ）由
当
所以 曲线
（2）令
当
所以
所以
当
由上表可知函数f（x）的最小值为
已知函数f（x）=axlnx图象上点（e，f（e））处的切线方程与直线y=2x平行（其中e=2.71828…），g（x）=x2﹣tx﹣2．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）求函数f（x）在[n，n+2]（n＞0）上的最小值；
（III）对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．
正确答案
解：（I）由点（e，f（e））处的切线方程与直线2x﹣y=0平行，
得该切线斜率为2，即f'（e）=2．
又∵f'（x）=a（lnx+1），
令a（lne+1）=2，a=1，
所以f（x）=xlnx．
（II）由（I）知f'（x）=lnx+1，
显然f'（x）=0时x=e﹣1
当
当
①
②
因此f（x）min=f（n）=nlnnn；
所以
（III）对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，
又g（x）=x2﹣tx﹣2，
∴3xlnx≥x2﹣tx﹣2，即
设
则
由h'（x）=0得x=1或x=2，
∴x∈（0，1），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
x∈（1，2），h'（x）＞0，h（x）单调递减，
x∈（2，e），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）极大值=h（1）=﹣1，且h（e）=e﹣3﹣2e﹣1＜﹣1，
所以h（x）max=h（1）=﹣1．
因为对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，
∴t≥h（x）max=﹣1．
故实数t的取值范围为[﹣1，+∞）．
如图，已知M是函数y=4﹣x2（1＜x＜2）的图象C上一点，过M点作曲线C的切线与x轴、y轴分别交于点A，B，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值．
正确答案
解：∵y=4﹣x2∴y'=﹣2x．
设M（m，4﹣m2），则过M点曲线C的切线斜率k=﹣2m．
∴切线方程y﹣（4﹣m2）=﹣2m（x﹣m）．
由x=0，得y=4+m2，B（0，4+m2）．
由y=0
∴
令
当
当
∴
已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（
x2），求a的取值范围．
正确答案
解：（Ⅰ）由已知
故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3；
（Ⅱ）
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0
所以，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
②当a＜0时，由f'（x）=0，得
在区间
在区间
所以，函数f（x）的单调递增区间为
（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）min．
由x∈[0，1]，得到g（x）min=g（1）=1，
由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．
当a＜0时，f（x）在
故f（x）的极大值即为最大值，
所以1＜﹣1﹣ln（﹣a），解得
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