- 导数的概念及其几何意义
- 共3697题
已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（k ∈R），
（1）若k=2，求以M（2，f（2））为切点的曲线的切线方程；
（2）若函数f（x）≤0恒成立，确定实数k的取值范围。
正确答案
解：（1）k=2，
当x=2时，f′（2）=-1，
切线方程为x+y=1；
（2）
当k≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在定义域内单调递增，f（x）≤0不恒成立；
当k＞0时，函数f（x）在
当
∴k≥1。
已知函数f（x）=x3﹣6x2+11x，其图象记为曲线C．
（1）求曲线C在点A（3，f（3））处的切线方程l；
（2）记曲线C与l的另一个交点为B（x2，f（x2）），线段AB与曲线C所围成的封闭图形的面积为S，求S的值．
正确答案
解（1）∵函数f（x）=x3﹣6x2+11x，
∴f'（x）=3x2﹣12x+11，f'（3）=2，
又f（3）=6，
∴切线方程l为y﹣6=2（x﹣3）， 即y=2x．
（2）曲线C与l的另一个交点为B（x2，f（x2）），
∴
已知F1、F2分别是椭圆
（1） 求此椭圆的方程及直线AB的斜率的取值范围；
（2）过A、B两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P，求证：点P在一条定直线上，并求点P的纵坐标的取值范围。
正确答案
解：（1）由于
∴
解得
从而所求椭圆的方程是
∵
∴A，B，N三点共线
而点N的坐标为（-2，0）
设直线AB的方程为
其中k为直线AB的斜率，依条件知k＞0
由
即
根据条件可知
解得
设
根据韦达定理得
又由
∴
从而
令
则
由于
所以
∴
从而
即
∴
解得
而
∴
因此直线AB的斜率的取值范围是
（2）上半椭圆的方程为
且
求导可得
所以两条切线的斜率分别为
切线PA的方程是
即
又
从而切线PA的方程为
同理可得切线PB的方程为
由
可解得点P的坐标
再由
∴
又由（1）知
∴
因此点P在定直线
函数f（x）=sin （
（1）若
（2）若在曲线段
正确答案
（1）3；（2）
如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l：y=-c交于P，Q。
（1）若
（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。
正确答案
解：（1）设过C点的直线为
所以
即
设
因为
所以
即
所以
即
所以
（2）设过Q的切线为
所以
即
他与
又
所以Q
因为
所以
所以M
所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。
（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q
因为PQ⊥x轴，
所以
因为
所以P为AB的中点。
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