热门试卷

解：（1）  

由已知，解得. 

（2）函数的定义域为..        

当x变化时，的变化情况如下：

由上表可知，函数的单调递减区间是；单调递增区间是.

（3）由得，

由已知函数为上的单调减函数，则在上恒成立，

即在上恒成立.    

即在上恒成立.

令，在上，

在为减函数.

,所以.

解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x2+2bx+c

∵f（x）在x=1时，有极值﹣1，

∴f′（1）=0，f（1）=﹣1

∴3+2b+c=0，1+b+c+2=﹣1

∴b=1，c=﹣5； 

（2）假设f（x）图象在x=t处的切线与直线（b2﹣c）x+y+1=0平行，

∵f′（t）=3t2+2bt+c，直线（b2﹣c）x+y+1=0的斜率为c﹣b2，

∴3t2+2bt+c=c﹣b2，

∴3t2+2bt+b=0

∴△=4b2﹣12b2=﹣8b2，

又∵b≠0，∴△＜0．

从而3t2+2bt+b2=0无解，

因此不存在t，使f′（t）=c﹣b2，

故f（x）图象不存在与直线（b2﹣c）x+y+1=0平行的切线．

（3）∵|f'（x）|=|，

①若|﹣|＞1，即b＞3或b＜﹣3时，M应为f'（﹣1）与f'（1）中最大的一个，

∴2M≥|f'（﹣1）|+|f'（1）|≥|f'（﹣1）﹣f'（1）|≥|4b|＞12

∴M＞6＞

②若﹣3≤b≤0时，2M≥|f'（﹣1）|+|f'（﹣）|≥|f'（﹣1）﹣f'（﹣）|=|（b﹣3）2|≥3，

∴M≥

③若0＜b≤3时，2M≥|f'（1）|+|f'（﹣）|≥|f'（1）﹣f'（﹣）|=|（b+3）2|＞3，

∴M＞，M≥ 

解：（1）依题意

解

得或

若

则

f′（x）=

f（x）在R上单调递减，在x=1处无极值；

若，则

直接讨论知，f（x）在x=1处有极大值，

所以。

（2）解f′（t）=c得t=0或t=2b，切点分别为（0，bc）、

相应的切线为y=cx+bc或

解

即x3-3bx2+4b3=0

得x=-b或x=2b

综合可知，b=0时，斜率为c的切线只有一条，与曲线的公共点只有（0，0），

b≠0时，斜率为c的切线有两条，与曲线的公共点分别为（0，bc）、（3b，4bc）和。

（3）g（x）=|-（x-b）2+b2+c|

若|b|＞1，则f′（x）在[-1，1]是单调函数，

M=max{|f′（-1）|，|f′（1）|}={|-1+2b+c|，|-1-2b+c|}，

因为f′（1）与f′（-1）之差的绝对值|f′（1）-f′（-1）|=|4b|＞4，

所以M＞2

若|b|≤1，f′（x）在x=b∈[-1，1]取极值，

则M=max{|f′（-1）|，|f′（1）|，|f′（b）|}，f′（b）-f′（±1）=（b±1）2若-1≤b＜0，f′（1）≤f′（-1）≤f′（b）

若0≤b≤1，f′（-1）≤f′（1）≤f′（b），

当b=0，时，在[-1，1]上的最大值

故M≥k对任意的b，c恒成立的k的最大值为。

解：（1）记g（x）＝ex-bx，

当b＝1时，g′（x）＝ex-1，

当x＞0时，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，＋∞）上为增函数；

又g（0）＝1＞0，

所以当x∈（0，＋∞）时，g（x）＞0，

所以当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝∣g（x）∣＝g（x），

所以f′（1）＝g′（1）＝e-1，

所以曲线y＝f（x）在点（1，e-1）处的切线方程为：y-（e-1）＝（e-1）（x-1），

即y＝（e-1）x。  

（2）f（x）＝0同解于g（x）＝0，

因此，只需g（x）＝0有且只有一个解，即方程ex-bx＝0有且只有一个解，

因为x＝0不满足方程，所以方程同解于b＝，  

令h（x）＝，

由h′（x）＝＝0得x＝1，

当x∈（1，＋∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）∈（e，＋∞）；

当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，h（x）∈（e，＋∞）；

所以当x∈（0，＋∞）时，方程b＝有且只有一解等价于b＝e；

当x∈（-∞，0）时，h（x）单调递减，且h（x）∈（-∞，0），

从而方程b＝有且只有一解等价于b∈（-∞，0）；

综上所述，b的取值范围为（-∞，0）∪{e}。

（3）由g′（x）=ex-b=0，得x=lnb，

当x∈（-∞，lnb）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；

当x∈（lnb，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；

所以在x=lnb时，g（x）取极小值g（lnb）=b-blnb=b（1-lnb），

①当0＜b≤e时，g（lnb）=b-blnb=b（1-lnb）≥0，

从而当x∈R时，g（x）≥0，

所以f（x）=∣g（x）∣=g（x）在（-∞，+∞）上无极大值；

因此，在x∈（0，2）上也无极大值；

②当b＞e时，g（lnb）＜0，

因为g（0）=1＞0，g（2lnb）=b2-2blnb=b（b-2lnb）＞0，

所以存在x1∈（0，lnb），x2∈（lnb，2lnb），使得g（x1）=g（x2）=0，

此时f（x）=∣g（x）∣=，

所以f（x）在（-∞，x1）单调递减，在（x1，lnb）上单调递增，在（lnb，x2）单调递减，

在（x2，+∞）上单调递增，

所以在x=lnb时，f（x）有极大值，

因为x∈（0，2），

所以，当lnb＜2，即e＜b＜e2时，f（x）在（0，2）上有极大值；

当lnb≥2，即b≥e2时，f（x）在（0，2）上不存在极大值；

综上所述，在区间（0，2）上，当0＜b≤e或b≥e2时，函数y=f（x）不存在极大值；

当e＜b＜e2时，函数y=f（x）在x=lnb时取极大值f（lnb）=b（lnb-1）。