热门试卷

解：（1）由，

求得交点A（﹣2，0），B（3，5）

（2）因为y'=2x，则y'|x=﹣2=﹣4，y'|x=3=6，

所以抛物线在A，B处的切线方程分别为

y=﹣4（x+2）与 y﹣5=6（x﹣3）4x+y+8=0 与6x﹣y﹣13=0

解：（1）设S（x，y），根据题意，

|ST|2=|SC|2=22+|y|2，

即。

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）

所以

则PA：，即

设P（t，t-2），P在PA上

同理，P在PB上

故x1，x2是方程

的两根，

故恒过点（2，2）。

（3）证明：过点M所作垂线l1的方程为y-2=-（x-2）x+y-4=0，解出垂足N（3，1）

MN的斜率为-1，故倾斜角为

若AN，BN的斜率均存在，则设其分别为k1，k2，

对应的倾斜角分别为α，β，

要证MN是∠ANB的平分线，只要证∠ANM=∠BNM，

即，

即要证k1k2=1

设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y= k（x-2）+2代入x2=4y，

得x2-4kx+8k-8=0，

∴x1+x2=4k，x1x2=8k-8

y1+y2=k（x1-2）+2+k（x2-2）+2 =4k2-4k+4，②

将②，③代入①，得

当时，k1k2=1，当时，解得A，B两点的坐标分别为（-2，1），，

验证AN与BN的斜率一个不存在，一个为零，

即∠ANM=∠BNM，

即MN是∠ANB的平分线。

解：（Ⅰ）设抛物线Q1的方程为x2=2py（p＞0），

由过点（1，2）得4=2p，解得p=2，

∴Q1：x2=4y，

抛物线Q2与Q1关于x轴对称，故抛物线Q2的方程为x2=-4y；

（Ⅱ）由题意知AB的斜率必存在且过焦点，

设AB：y=kx+1，联立消y得x2-4kx-4=0，

根据韦达定理有：x1+x2=4k，x1x2=-4，

∵抛物线Q1的方程为，

∴，

∴，

，

∴，同理可得l2：，

∵N（m2，n2）在直线l1上，且，

∴，

，

∴

代入上式得，

两边同乘以，得，

而，故有，

即S（s，t）满足l2的方程，

故点S恰在直线l2上。

（Ⅰ）解：由已知，动点P到定点F的距离与动点P到直线的距离相等，

由抛物线定义可知，动点P的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，

所以曲线C的方程为y=x2．

（Ⅱ）证明：设，

由，得，

所以，

设，则，

因为MN⊥x轴，所以N点的横坐标为，

由y=x2，可得y′=2x，所以当x=时，y′=k，

所以曲线C在点N处的切线斜率为k，与直线AB平行．

（Ⅲ）解：由已知，k≠0，设直线l的垂线为l′：，

代入y=x2，可得， （*）

若存在两点关于直线l对称，则，

又在l上，

所以，

由方程（*）有两个不等实根，

所以，即，

所以，解得或。