导数的概念及其几何意义
共3697题

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导数的概念及其几何意义
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题型：简答题

简答题

过点作直线l与抛物线相交于两点A,B，圆C：

（Ⅰ）若抛物线在点B处的切线恰好与圆C相切，求直线l的方程；

（Ⅱ）过点A,B分别作圆C的切线BD,AE，试求的取值范围.

正确答案

解：（Ⅰ）设由，得

∴ 过点B的切线方程为：，即

由已知：，又，

∴x22=12∴x2=，y2=3 ，即点B 坐标为

∴直线 l的方程为： .

（Ⅱ）由已知，直线l的斜率存在，则设直线的方程为：，

联立，得

∴x1+x2=4k，x1x2=-4∴x12+x22=16k2+8

解法一：

解法二：

解法三： ,

同理，

∴

故的取值范围是 .

题型：简答题

简答题

已知f1（x）=x（x≠0），若对任意的n∈N*，fw（1）=1，且fmax（x）=fv（x）+xfne（x）．（1）求fn（x）的解析式；

（2）设Fn（x）=，求证：F1（2）+F2（2）+…Fn（2）＜1；

（3）若ge（x）=C6020+2C601f1（x）+3C602f2（x）+…+（n+1）Cnxfn（x），是否存在实数x，使得g1（x）+g2（x）+…gn（x）=（n+1）（1+x）a，说明理由．

正确答案

解：（1）∵，

∴

∴fn（x）=xfn﹣1（x）+a

∵任意的n∈N*，fw（1）=1，

∴a=0，

∴fn（x）=xfn﹣1（x）

∵f1（x）=x（x≠0），

∴

（2）证明：Fn（x）==

∴Fn（2）===2（﹣）

∴F1（2）+F2（2）+…Fn（2）=2（﹣）＜1

（3）gn（x）=Cn0+2Cn1f1（x）+3Cn2f2（x）+…+（n+1）Cnxfn（x）

=Cn0+2xCn1+3x2Cn2+…+（n+1）xnCnx=[x（1+x）n] ’

=（1+x）n+nx（1+x）n﹣1 =[（n+1）x+1]（1+x）n﹣1

设Sn（x）=g1（x）+g2（x）+…+gn（x）

=（2x+1）+（3x+1）（1+x）+…+[（n+1）x+1]（1+x）n﹣1 ，①

∴（1+x）Sn（x）=（2x+1）（1+x）+（3x+1）（1+x）2+…+[（n+1）x+1]（1+x）n，②

①﹣②化简可得：﹣xSn（x）=x﹣（n+1）x（1+x）n∴Sn（x）=（n+1）（1+x）n﹣1

∴不存在实数x，使得g1（x）+g2（x）+…gn（x）=（n+1）（1+x）n．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x2-4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1，0）（n∈N*），其中x1为正实数。

（1）用xn表示xn+1；

（2）若x1=4，记，证明数列{an}成等比数列，并求数列{xn}的通项公式；

（3）若x1=4，bn=xn-2，Tn是数列{bn}的前n项和，证明Tn＜3。

正确答案

解：（1）由题可得

所以曲线在点处的切线方程是：

即

令得

即

显然

∴。

（2）由知

同理

故

从而

即

所以数列成等比数列

故

即

从而

所以。

（3）由（2）知

∴

当时，显然

当时，

∴

综上，。

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L：y=x2，实数p，q满足p2-4q≥0，x1，x2是方程x2-px+q=0的两根，记φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}.

（1）过点A（p0，p0）（p0≠0）作L的切线教y轴于点B。证明：对线段AB上任一点Q（p，q）有φ（p，q）=；

（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2-4b>0，a≠0。过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，切点分别为E（p1，p12），E′（p2，p22），l1，l2与y轴分别交与F，F'。线段EF上异于两端点的点集记为X。证明：M（a，b）∈X|P1|＞|P2|φ（a，b）=；

（3）设D={（x，y）|y≤x-1，y≥（x+1）2-}，当点（p，q）取遍D时，求φ（p，q）的最小值（记为φmin）和最大值（记为φmax）。

正确答案

解：（1）

直线AB方程为，即

∴

方程的判别式

两根或

∵

∴

又

∴

得

∴。

（2）由知点在抛物线L的下方

①当时，作图可知，若，则，得

若，显然有点

∴

②当时，点在第二象限，作图可知，若，则，且

若，显然有点

∴

根据曲线的对称性可知，当时，

综上所述

由（1）知点M在直线EF上，方程的两根或

同理点M在直线上，方程的两根或

若，则不比，，小

∴

又

∴

又由（1）知

∴

综合（*）式，得证。

（3）联立，得交点，可知

过点作抛物线L的切线，设切点为，则

得，解得

又，即

∴

设

∴

∵

又

∴

∵

∴

∴。

题型：简答题

简答题

已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=Sn+n+5（n∈N*），

（Ⅰ）证明数列{an+1}是等比数列；

（Ⅱ）令f（x）=a1x+a2x2+…+anxn，求函数f（x）在点x=1处的导数f′（1）并比较2f′（1）与23n2-13n的大小。

正确答案

解：（Ⅰ）由已知可得，

两式相减得，即，

从而，

当n=1时，

所以，

又，

所以，

从而，故总有，，

又，

从而，即数列是等比数列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

因为，

所以，

从而

，

由上

=12，①

当n=1时，①式=0，所以；

当n=2时，①式=-12＜0，所以；

当时，n-1＞0，

又，

所以，即①＞0，

从而。

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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