热门试卷

解：（Ⅰ）设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，

∵，

∴切线PM的方程为：，

又∵切线PM过点P（1，0），

∴有，即x12+2tx1﹣t=0，（1）

同理，由切线PN也过点P（1，0），得x22+2tx2﹣t=0．（2）

由（1）、（2），可得x1，x2是方程x2+2tx﹣t=0的两根，

∴（*）

=，把（*）式代入，得，

因此，函数g（t）的表达式为．

（Ⅱ）当点M、N与A共线时，kMA=kNA，

∴=，即=，

化简，得（x2﹣x1）[t（x2+x1）﹣x1x2]=0

∵x1≠x2，

∴t（x2+x1）=x2x1．（3）

把（*）式代入（3），解得．

∴存在t，使得点M、N与A三点共线，且．

（Ⅲ）知g（t）在区间上为增函数，

∴（i=1，2,...，m+1），则．依题意，不等式对一切的正整数n恒成立，，即对一切的正整数n恒成立．

∵，

∴，

∴．由于m为正整数，∴m≤6．

又当m=6时，存在a1=a2═am=2，a m+1=16，对所有的n满足条件．

因此，m的最大值为6．

解：（1 ）设切点A，

依题意则有解得，

即A点的纵坐标为2；

（2）①依题意可设椭圆的方程为，

直线AB方程为：；

由得，（*）

由（1）可得A，

将A代入（*）可得，

故椭圆的方程可简化为；

联立直线AB与椭圆的方程：，

消去y得：，

则

，

又∵，

∴k∈［-2，-1］；

即；

②由可知上为单调递增函数，

故当k=-1时，取到最大值，此时p＝4，

故椭圆的方程为。

解：（I）点代入得：          

①        

又 ②  

③        

由①②③得：

即椭圆的方程为；

（II）设；则    

得：      

过点与椭圆相切的直线斜率    

得：直线与椭圆只有一个交点。

解：（1）由抛物线经过点O（0，0）A（m，0），

设抛物线方程y=kx（x﹣m），k≠0，

又抛物线过点P（m+1，m+1），

则m+1=k（m+1）（m+1﹣m），得k=1，

所以y=g（x）=x（x﹣m）=x2﹣mx．

（2）f（x）=（x﹣n）g（x）=x（x﹣m）（x﹣n）=x3﹣（m+n）x2+mnx，

f′（x）=3x2﹣2（m+n）x+mn，

函数f（x）在x=a和x=b处取到极值，故f′（a）=0，f′（b）=0，

∵m＞n＞0，

∴f′（m）=3m2﹣2（m+n）m+mn=m2﹣mn=m（m﹣n）＞0

f′（n）=3n2﹣2（m+n）+mn=n2﹣mn=n（n﹣m）＜0

又b＜a，故b＜n＜a＜m．

（3）设切点Q（x0，y0），则切线的斜率k=f′（x0）=3x02﹣2（m+n）x0+mn

又y0=x03﹣（m+n）x02+mnx0，

所以切线的方程是 y=x03﹣（m+n）x02﹣mnx0=[3x02﹣2（m+n）x0+mn]（x﹣x0）

又切线过原点，故﹣x03﹣（m+n）x02﹣mnx0=﹣3x03﹣2（m+n）x02+mnx0，

所以2x03﹣（m+n）x02=0，解得x0=0，或x0= ．

两条切线的斜率为k1=f′（0）=mn，k2=f′（ ），

由m+n≤2 ，得（m+n）2≥8，

∴﹣ （m+n）2≥﹣2，

∴k2=f′（ ）= ﹣2（m+n）· +mn

=﹣ （m+n）2+mn≥mn﹣2

所以k1k2=（mn）2﹣2mn=（mn﹣1）2﹣1≥﹣1，

又两条切线垂直，故k1k2=﹣1，

所以上式等号成立，有m+n=2 ，且mn=1．

所以f（x）=x3﹣（m+n）x2+mnx=x3﹣2 x2+x．