- 导数的概念及其几何意义
- 共3697题
已知抛物线L的方程为x2=2py（p＞0），直线y=x截抛物线L所得弦
（1）求p的值；
（2）抛物线L上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
正确答案
解：（1）由 
∴
∴p=2
（2）由（1）得x2=4y，A（0，0），B（4，4）
假设抛物线L上存在异于点A、B的点C
使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线令圆的圆心为N（a，b），
则由
得
得
∵抛物线L在点C处的切线斜率
又该切线与NC垂直，
∴
∵t≠0，t≠4，
∴t=﹣2 故存在点C且坐标为（﹣2，1）．
已知四点O（0，0），
（1）当x0=3时，延长PN交抛物线于另一点Q，求∠POQ的大小；
（2）当点P（x0，y0）（x0≠0）在抛物线x2=2y上运动时，
（i）以MP为直径作圆，求该圆截直线
（ii）过点P作x轴的垂线交x轴于点A，过点P作该抛物线的切线l交x轴于点B，问：是否总有∠FPB=∠BPA？如果有，请给予证明；如果没有，请举出反例。
正确答案
解：（1）当x0=3时，
直线PN：
得
所以
所以∠POQ=90°。
（2）（i）以MP为直径的圆的圆心为
所以圆的半径
圆心到直线
故截得的弦长
=2
（ii）总有∠FPB=∠BPA
证明：
所以切线l的方程为
即
令y=0，得
所以点B的坐标为
点B到直线PA的距离为
下面求直线PF的方程
因为
所以直线PF的方程为
整理得
所以点B到直线PF的距离为
所以d1=d2，
所以∠FPB=∠BPA。
已知动圆过定点F（0，2），且与定直线L：y=-2相切。
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）若AB是轨迹C的动弦，且AB过F（0，2），分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ。
正确答案
（1）解：依题意，圆心的轨迹是以F（0，2）为焦点，L：y=-2为准线的抛物线上，
因为抛物线焦点到准线距离等于4，
所以圆心的轨迹是
（2）证明：∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+2，
由
∴
抛物线的方程为
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是
∴
所以，AQ⊥BQ。
如图，线段AB过y轴上一点 N（0，m），AB所在直线的斜率为k（k≠0），两端点A，B到y 轴的距离之差为4k。
（1）求以y轴为对称轴，过A，O，B三点的抛物线方程；
（2）过抛物线的焦点F作动弦CD，过C，D两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程，并求
正确答案
解：（1）依题意，设AB所在直线方程为y=kx+m，抛物线方程为x2=2py（p>0），
且A（x1，y1），B（x2，y2），
由题设知x1>0，x2＜0，
∴|x1|-|x2|=4k，即x1+x2=4k，
由
∴x1+x2=2pk=4k，
∴p=2
故所求抛物线方程为x2=4y。
（2）由（1）得
设
则过抛物线上C，D两点的切线方程分别为
即
联立上述两个方程，得
∴两条切线的交点M的坐标为
设CD所在直线方程为y=nx+1，代入x2=4y，得x2-4nx-4 =0
∴x3x4=-4，
∴M的坐标为
故点M的轨迹方程为y=-1
又∵
∴
而
∴
已知函数y=kx与y=x2+2（x≥0）的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2），l1，l2分别是y=x2+2（x≥0）的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点。
（1）求k的取值范围；
（2）设t为点M的横坐标，当x1＜x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域；
（3）试比较|OM|与|ON|的大小，并说明理由（O是坐标原点）。
正确答案
解：（1）由方程
依题意，该方程有两个正实根
故
（2）由
由
故
t是关于
（3）当
类似可得
由①可知
从而
当
所以
扫码查看完整答案与解析