热门试卷

（1）（2）见解析（3）

（1），由条件，得

 即 解得，所以．  3分

（2），其定义域为，

，

令，得（*）          5分

①若，则，即的单调递增区间为；      

②若，（*）式等价于，

当时，，无解，即无单调增区间，

当时，则，即的单调递增区间为，

当，则，即的单调递增区间为．  8分

（3）..

当时，，，

令，得，且当时，；当时，，

所以在上有极小值，即最小值为．   10分

当时，，，

令，得，

①若，方程不可能有四个解；        12分

②若，当时，，当时，，

所以在上有极小值且是最小值为，

又，的大致图象如图1所示，

从图象可以看出方程不可能有四个解．  14分

③若，当时，，当时，，

所以在上有极大值且是最大值为，

又，的大致图象如图2所示，

从图象可以看出若方程恰四个不同的解，

必须，解得．

综上所述，满足条件的实数的取值范围是．    16分

【命题意图】本题考查导数在函数中应用、函数图像等知识 ，意在考查运算求解能力，数学综合论证能力.

(1);(2)．

试题分析：(1)利用导数的几何意义，先求,利用,解出;

（2）函数的单调递增区间是，所以导函数的解集为，所以先求函数的导数，的解集为即的两个实根为或,根据根与系数的关系得到．

（1）,,代入                 5分

（2）,的解集为即的两个实根为或,根据根与系数的关系得到,a的取值集合为     10分

（Ⅰ）f'（x）=-3x2+2ax（1分）

由f'（2）=0得a=3，（2分）

又f（2）=0得b=-4（3分）

（Ⅱ）k=f'（x）=-3x2+2ax   x∈（0，1），

∴对任意的 x∈（0，1），|k|≤1，即）|-3x2+2ax|≤1对任意的x∈（0，1）恒成立（4分）

等价于3x-≤2a≤+3x对任意的x∈（0，1）恒成立．（5分）

令g（x）=+3x，h（x）=3x-，

则h（x）max≤a≤g（x）min，x∈（0，1）（6分）

+3x≥2，当且仅当x=时“=”成立，∴g（x）min=2（7分）

h（x）=3x-在（0，1）上为增函数∴h（x）max＜2（8分）

∴1≤a≤（9分）

（Ⅲ）设x1，x2∈R则k==-[x12+x1x2+x22-a（x1+x2）]＜1（10分）

即x12+（x2-a）x1+x22-ax2+1＞0，对x1∈R恒成立（11分）

∴△=（x2-a）2-4（x22-ax2+1）＜0，对x2∈R恒成立

即3x22-2ax2+4（4-a2）＞0对x2∈R恒成立（13分）

∴4a2-12（4-a2）＜0

解得a2＜3⇒|a|＜（14分）

解：（Ⅰ）在点（ak，ak2）处的切线方程为：y﹣ak2=2ak（x﹣ak），

当y=0时，解得，所以，

又∵a1=16，

∴a2=8，a3=4，a4=2

n=2时，，

由已知b1=2，b2=6，得|36﹣2a3|＜1，

因为b3为正整数，所以b3=18，同理b4=54

（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：bn=2·3n﹣1证明：①n=1，2时，命题成立；

②假设当n=k﹣1与n=k（k≥2且k∈N）时成立，即bk=2·3k﹣1，bk﹣1=2·3k﹣2．

于是，整理得：

由归纳假设得：

因为bk+1为正整数，所以bk+1=2·3k即当n=k+1时命题仍成立．

综上：由知①②知对于n∈N*，有bn=2·3n﹣1成立

（Ⅲ）证明：由③

得④

③式减④式得⑤

⑥

⑤式减⑥式得

=﹣1+2

=1+2

=

=

则．