导数的概念及其几何意义
共3697题

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导数的概念及其几何意义
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题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=px--2lnx。

（1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线；

（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围。

正确答案

解：（1）当p=2时，函数

f（1）=2-2-2ln1=0，f′（x）=

曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）=2+2-2=2

从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），

即y=2x-2。

（2）

令h（x）=px2-2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，

只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，

由题意p>0，h（x）=px2-2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为

∴

只需

即p≥1时，h（x）≥0，f′（x）≥0，

∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）。

题型：简答题

简答题

已知数列的前n项和为Sn，对一切正整数n，点在函数的图像上，且过点的切线的斜率为kn．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和Tn．

正确答案

（1）（2）．

试题分析：（1）根据点都在函数的图像上，得到．利用“两步一验”即得数列的通项公式.

（2）由导数的几何意义得到，

从而可利用“错位相减法”求数列的前n项和Tn

本题综合性较强，但解题思路明确，难度适中.

试题解析：（1）点都在函数的图像上，

． 2分

当时，

当时，满足上式，

所以数列的通项公式为 6分

（2）由求导可得，

因为过点的切线的斜率为，，

，

两式相减得

9分

． 12分

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），其中0＜a＜b．

（1）设f（x）在x=s和x=t处取得极值，其中s＜t，求证：0＜s＜a＜t＜b；

（2）设A（s，f（s）），B（t，f（t）），求证：线段AB的中点C在曲线y=f（x）上；

（3）若a+b＜2，求证：过原点且与曲线y=f（x）相切的两条直线不可能垂直．

正确答案

题型：简答题

简答题

已知曲线：

（1）试求曲线在点处的切线方程；

（2）试求与直线平行的曲线C的切线方程．

正确答案

（1）；（2）或．

试题分析：（1）先求出的值，再求函数的导函数，求得的值即为点斜率，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可；（2）设切点为，利用导数的几何意义和相互平行的直线的斜率相等，即可得所求切线的斜率，再求出切点的坐标，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可．

（1） ∵，∴，求导数得：，

∴切线的斜率为，

∴所求切线方程为，即：．

（2）设与直线平行的切线的切点为，

则切线的斜率为．

又∵所求切线与直线平行，∴，

解得：，代入曲线方程得：切点为或，

∴所求切线方程为：或，

即：或．

题型：简答题

简答题

函数.

（1）令，求的解析式；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：.

正确答案

（1）；（2）实数的取值范围;（3）详见解析.

试题分析：（1）因为,故, ,,,由此可得,是以4为周期,重复出现,故;（2）若在上恒成立，求实数的取值范围,由得,,即在上恒成立，令,只需求出在上的最小值即可,可利用导数法来求最小值;（3）证明：,由（2）知：时，,即,这样得到，令，叠加即可证出．

试题解析：(1)…周期为4，

（2）方法一：即在上恒成立，

当时，；

当时，，设，

，

设，

，则时，增；减.

而，所以在上存在唯一零点，设为，则

,所以在处取得最大值，在处取得最小值，.

综上：.

方法二：设，.

当时，在上恒成立，成立，故；

当时，在上恒成立，得，无解.

当时，则存在使得时增，时减，

故，，解得，故.

综上：.

（3）由（2）知：时，

即.

当时，，

，

=，

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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