热门试卷

（1）见解析（2）

证明：（I）

故f(x)在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0

故

（II）0

曲线y=f(x)在点P（x0，y0）处的切线方程为：

∴切线与x轴、y轴正向的交点为

故所求三角形面积表达式为：

（1）见解析（2）h(x)=4x3-3x（3）见解析

（1）解：由f(1)=1,f(-1)=-1得q+s="0,r+p=1"

h(x)=px3-sx2+(1-p)x+s

h’(x)=3px2-2sx+1-p

因为（-1，1）内有两极值且f(1)=1,所以有p>0

=0(*)

又由韦达定理得，即代入(*)中得

因为p>0,a+bÎ（-2，2）,所以

所以有

（2）解：由得s=0，q="0"

所以h(x)=px3+(1-p)x，又

消去p得所以有

所以有h(x)=4x3-3x

（3）解：因为|x|<1时|f(x)|<1,所以有|f(1)|£1,|f(-1)|£1

令F(x)=h(x)+f(x)，G(x)=h(x)-f(x)

则有F(1)=1+f(1)³0,F()=-1+f()<0,F()=1+f(-)>0,F(-1)=-1+f(-1)£0

所以有F（x）在(-1,1)内有极大值和极小值，当x>1时，F(x)>0,当x<-1时，F(x)<0

同理有：G(1)=1-f(1)³0,  G()=-1-f()<0,  G()=1-f(-)>0,

G(-1)=-1-f(-1)£0

所以有G（x）在(-1,1)内有极大值和极小值，当x>1时，G(x)>0,当x<-1时，G(x)<0

所以当|x|>1时，有F(x)G(x)>0即h2(x)>f2(x)即|h(x)|>|f(x)

（I）令f1(x)=x3-(a+5)x(x≤0)，f2(x)=x3-x2+ax(x＞0)．

①(x)=3x2-(a+5)，由于a∈[-2，0]，从而当-1＜x＜0时，(x)=3x2-(a+5)＜3-a-5≤0，

所以函数f1（x）在区间（-1，0）内单调递减，

②(x)=3x2-(a+3)x+a=（3x-a）（x-1），由于a∈[-2，0]，所以0＜x＜1时，(x)＜0；

当x＞1时，(x)＞0，即函数f2（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，∞）上单调递增．

综合①②及f1（0）=f2（0），可知：f（x）在区间（-1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；

（II）证明：由（I）可知：f′（x）在区间（-∞，0）内单调递减，在区间(0，)内单调递减，在区间(，+∞)内单调递增．

因为曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3）处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且f′(x1)=f′(x2)=f′(x3)．

不妨x1＜0＜x2＜x3，由3-(a+5)=3-(a+3)x2=3-(a+3)x3+a．

可得3-3-(a+3)(x2-x3)=0，解得x2+x3=，从而0＜x2＜＜x3．

设g（x）=3x2-（a+3）x+a，则g()＜g(x2)＜g(0)=a．

由3-(a+5)=g(x2)＜a，解得-＜x1＜0，

所以x1+x2+x3＞-+，

设t=，则a=，

∵a∈[-2，0]，∴t∈[，]，

故x1+x2+x3＞-t+=(t-1)2-≥-，

故x1+x2+x3＞-．

略