热门试卷

（1）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），导函数f′（x）=，

∴k=f′（1）=1-a，

又f（1）=a-1，即切点坐标为（1，a-1），

所以，函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为：

y-（a-1）=（1-a）（x-1），即y=（1-a）x+2（a-1）．

（2）结合（1），令f′（x）=0得x=e1-a，由对数函数的单调性知：

当x∈（0，e1-a）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；

当x∈（e1-a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．

（ⅰ）当e1-a＜e2时，a＞-1时，f（x）max=f（e1-a）=ea-1-1，

令ea-1-1≤0，解得a≤1，即-1＜a≤1，

（ⅱ）当e1-a≥e2即a≤-1时，f（x）在（0，e2]上是增函数，

∴f（x）在（0，e2]上的最大值为f（e2）=-1，

令-1≤0，解得a≤e2-2，即a≤-1，

综上可知，实数a的取值范围是a≤1．

∵切线与直线y=4x+3平行，斜率为4

又切线在点x0的斜率为y′|_x0

∵3x02+1=4，∴x0=±1，有，或，

∴切点为（1，-8）或（-1，-12），

切线方程为y+8=4（x-1）或y+12=4（x-1），

即y=4x-12或y=4x-8．

解：（1）由题意可设，

又函数图象经过点，则，得.……… 2分

（2）由（1）可得。

所以，

，                       ………… 4分

函数在和处取到极值，

故，                              ………… 5分

，

  ………… 7分

又，故。                                …… 8分

（3）设切点，则切线的斜率

又，所以切线的方程是

    …… 9分

又切线过原点，故

所以，解得，或。 ………… 10分

两条切线的斜率为，，

由，得，，

，

                    ………………………… 12分

所以，

又两条切线垂直，故，所以上式等号成立，有，且。

所以。             ………… 14分

略

解: （I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，

即

解得a=1，b=0.

∴f(x)=x3－3x.

（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，

当－1

fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2

∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，

都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)|

|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4

（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，

∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.

设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足

因，故切线的斜率为

，

整理得.

∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，

∴关于x0方程=0有三个实根.

设g(x­0)= ，则g′(x0)=6，

由g′(x0)=0，得x0=0或x0­=1.

∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.

∴函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1

∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是

，解得－3

故所求的实数a的取值范围是－3

略