热门试卷

（1）－1±

（2）(2，＋∞)

（3）

解：(1)因为f(x)＝ln x，所以f′(x)＝，因此f′(1)＝1，所以函数f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.

由

消去y，得x2－2(b＋1)x＋2＝0.

所以Δ＝4(b＋1)2－8＝0，

解得b＝－1±.

(2)因为h(x)＝f(x)＋g(x)

＝ln x＋x2－bx(x>0)，

所以h′(x)＝＋x－b＝.

由题意知，h′(x)<0在(0，＋∞)上有解．

因为x>0，设u(x)＝x2－bx＋1，

则u(0)＝1>0，

所以，解得b>2.

所以实数b的取值范围是(2，＋∞)．

(3)不妨设x1>x2.

因为函数f(x)＝ln x在区间[1,2]上是增函数，所以f(x1)>f(x2)，函数g(x)图像的对称轴为直线x＝b，且b>1.

(ⅰ)当b≥2时，函数g(x)在区间[1,2]上是减函数，所以g(x1)2)，所以|f(x1)－f(x2)|>|g(x1)－g(x2)|等价于f(x1)－f(x2)>g(x2)－g(x1)，即f(x1)＋g(x1)>f(x2)＋g(x2)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x＋x2－bx(x>0)在区间[1,2]上是增函数，即等价于h′(x)＝＋x－b≥0在区间[1,2]上恒成立，亦等价于b≤x＋在区间[1,2]上恒成立，所以b≤2.

又b≥2，所以b＝2；

(ⅱ)当1

①当1≤x21≤b时，|f(x1)－f(x2)|>|g(x1)－g(x2)|等价于f(x1)－f(x2)>g(x2)－g(x1)，等价于f(x1)＋g(x1)>f(x2)＋g(x2)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x＋x2－bx(x>0)在区间[1，b]上是增函数，等价于h′(x)＝＋x－b≥0在区间[1，b]上恒成立，等价于b≤x＋在区间[1，b]上恒成立，所以b≤2.

又1

②当b≤x21≤2时，|f(x1)－f(x2)|>|g(x1)－g(x2)|等价于f(x1)－f(x2)>g(x1)－g(x2)等价于f(x1)－g(x1)>f(x2)－g(x2)，等价于H(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－x2＋bx在区间[b,2]上是增函数，等价于H′(x)＝－x＋b≥0在区间[b,2]上恒成立，等价于b≥x－在区间[b,2]上恒成立，所以b≥，故≤b<2；

③当1≤x21≤2时，由g(x)图像的对称性知，只要|f(x1)－f(x2)|>|g(x1)－g(x2)|对于①②同时成立，那么对于③，

则存在t1∈[1，b]，使|f(x1)－f(x2)|>|f(t1)－f(x2)|>|g(t1)－g(x2)|＝|g(x1)－g(x2)|恒成立；

或存在t2∈[b,2]，使|f(x1)－f(x2)|>

|f(x1)－f(t2)|>|g(x1)－g(t2)|＝

|g(x1)－g(x2)|恒成立．

因此≤b<2.

综上所述，实数b的取值范围是.

（1）；（2）当a≤0时，f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递增.

试题分析：（1）因为f（x）=ax2－(2a＋1)x＋2lnx，所以f′(x)＝ax−(2a+1)+．因为曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，所以f′（1）=f′（3）．由此能求出实数a．

（2）因为函数f（x）的定义域是（0，+∞），且f′（x）=，再由实数a的取值范围进行分类讨论，能够求出f（x）的单调区间．

试题解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)

∵f ' (x)＝ax－(2a＋1)＋

（1）由已知函数f ' (1)＝f ' (3)a－(2a＋1)＋2＝3a－(2a＋1)＋a＝  6分

（2）f ' (x)＝＝(x∈(0，＋∞))         8分

①当a＝0时，f ' (x)＝，由f ' (x)＞0得0＜x＜2，由f ' (x)＜0得x＞2

∴f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减                    10分

②当a＜0时，由f ' (x)＝＝0的x1＝(舍去)，x2＝2，由f ' (x)＞0的0＜x＜2，由f ' (x)＜0的x＞2

∴f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减              12分

综上：当a≤0时，f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递增      13分

（1）

（2）当或时，；

当时，；

（3）.

试题分析：（1）利用导数的几何意义，明确曲线在点处的切线的斜率为,建立方程

，再根据曲线经过点，得到方程，解方程组即得所求.

（2）利用“表解法”，确定函数的极值，注意讨论或及，的不同情况；

（3）根据在区间内存在两个极值点，得到，

即在内有两个不等的实根．

利用二次函数的图象和性质建立不等式组 求的范围.

试题解析：（1），

直线的斜率为，曲线在点处的切线的斜率为,

 ①

曲线经过点， ②

由①②得：              3分

（2）由（1）知：，，, 由，或.

当，即或时，，，变化如下表

由表可知：

    5分

当即时，，，变化如下表

由表可知：

   7分

综上可知：当或时，；

当时，       8分

（3）因为在区间内存在两个极值点 ，所以，

即在内有两个不等的实根．

∴            10分

由 （1）+（3）得：，           11分

由（4）得：，由（3）得：，

，∴．

故               13分

（1）切点，或者切点，；（2）.

试题分析：（1）先设切点，然后依题意计算出，由，计算出切点的横坐标，代入切线的方程，可得切点的纵坐标，最后再将切点的坐标代入曲线C的方程计算得的值；（2）结合（1）中求出的，确定，设，然后将存在使成立问题，转化为，进而求出，分、、三种情况讨论函数在上的单调性，确定，相应求解不等式，即可确定的取值范围.

试题解析：（1）设直线与曲线相切于点

∴,解得或

代入直线方程，得切点坐标为或

切点在曲线上，∴或

综上可知，切点，或者切点，          5分

（2）∵，∴，设，若存在使成立，则只要              7分

①当即时

，是增函数，不合题意              8分

②若即

令，得，∴在上是增函数

令，解得，∴在上是减函数

，,解得               10分

③若即，

令，解得

，∴在上是增函数

∴，不等式无解，∴不存在                12分

综上可得，实数的取值范围为                      13分.