热门试卷

（1）设动圆圆心为（x，y），依题意得，=|y+1|，整理，得x2=4y．

所以轨迹M的方程为x2=4y．

（2）由（1）得x2=4y，即y=x2，则y′=x．

设点D（x0，x02），由导数的几何意义知，直线的斜率为kBC=x0，

由题意知点A（-x0，x02）．设点C（x1，x12），B（x2，x22），

则kBC===x0，即x1+x2=2x0，

因为kAC==，kAB==，

由于kAC+kAB=+==0，即kAC=-kAB，

所以∠BAD=∠CAD；

（3）由点D到AB的距离等于|AD|，可知∠BAD=45°，

不妨设点C在AD上方，即x2＜x1，直线AB的方程为：y-x02=-（x+x0）．

由，解得点B的坐标为（x0-4，(x0-4)2），

所以|AB|=|（x0-4）-（-x0）|=2|x0-2|．

由（2）知∠BAD=∠CAD=45°，同理可得|AC|=2|x0+2|，

所以△ABC的面积S=×2|x0-2|×2x0+2|=4|x02-4|=20，解得x0=±3，

当x0=3时，点B的坐标为（-1，），kBC=，

直线BC的方程为y-=（x+1），即6x-4y+7=0；

当x0=-3时，点B的坐标为（-7，），kBC=-，

直线BC的方程为y-=-（x+7），即6x+4y-7=0．

（1）y'=3x2-6x+2=3（x-1）2-1，

所以，x=1时，y'有最小值-1，（3分）

把x=1代入曲线方程得：y=0，所以切点坐标为（1，0），

故所求切线的斜率为-1，其方程为：y=-x+1．            

（2）设切点坐标为M（x0，y0），则y0=x03-3x02+2x0，

切线的斜率为3x02-6x0+2，

故切线方程为y-y0=（3x02-6x0+2）（x-x0），（9分）

因为切线过原点，所以有-y0=（3x02-6x0+2）（-x0），

即：x03-3x02+2x0=x0（3x02-6x0+2），

解之得：x0=0或x0=．                                  

所以，切点坐标为M（0，0）或M(，-)，

相应的切线方程为：y=2x或y+=-(x-)

即切线方程为：2x-y=0或x+4y=0．

解（1）当a=1时，f（x）=x2+|lnx-1|

令x=1得f（1）=2，f'（1）=1，所以切点为（1，2），切线的斜率为1，

所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：x-y+1=0．

（2）①当x≥e时，f（x）=x2+alnx-a，f′(x)=2x+（x≥e）

∵a＞0，

∴f（x）＞0恒成立．

∴f（x）在[e，+∞）上增函数．

故当x=e时，ymin=f（e）=e2

②当1≤x＜e时，f（x）=x2-alnx+1，

f′(x)=2x-=(x+)(x-)（1≤x＜e）

（i）当≤1，即0＜a≤2时，f'（x）在x∈（1，e）时为正数，

所以f（x）在区间[1，e）上为增函数．

故当x=1时，ymin=1+a，且此时f（1）＜f（e）

（ii）当1＜＜e，即2＜a＜2e2时，

f'（x）在x∈(1，)时为负数，在间x∈()时为正数

所以f（x）在区间[1，)上为减函数，在(，e]上为增函数

故当x=时，ymin=-ln，

且此时f()＜f(e)

（iii）当≥e；即a≥2e2时，

f'（x）在x∈（1，e）时为负数，

所以f（x）在区间[1，e]上为减函数，

当x=e时，ymin=f（e）=e2．

综上所述，当a≥2e2时，f（x）在x≥e时和1≤x≤e时的最小值都是e2．

所以此时f（x）的最小值为f（e）=e2；

当2＜a＜2e2时，f（x）在x≥e时的最小值为f()=-ln，

而f()＜f(e)，

所以此时f（x）的最小值为f()=-ln．

当0＜a≤2时，在x≥e时最小值为e2，在1≤x＜e时的最小值为f（1）=1+a，

而f（1）＜f（e），所以此时f（x）的最小值为f（1）=1+a

所以函数y=f（x）的最小值为ymin=