热门试卷

（1）；（2）（i）；（ii）.

试题分析：（1）将代入函数解析式，求出，由此计算与的值，最后利用点斜式写出相应的切线方程；（2）利用参数分离法将问题转化为直线与函数的图象有且仅有一个交点来处理，然后利用导数来研究函数的单调性与极值，从而求出的值；（ii）将问题转化为，然后利用导数研究在区间上最值，从而确定实数的取值范围.

（1）当时，，定义域，

，

，又，

在处的切线方程；

（2）（ⅰ）令，

则，

即，

令，

则，

令，

，

，在上是减函数，

又，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

，

所以当函数有且仅有一个零点时；

（ⅱ）当，，

若，，只需证明，

，

令，得或，

又，

函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

又，，

，

即，，.

（1）或；（2）；（3）.

试题分析：（1）利用导数求出函数在点的切线方程，并将切线方程与函数的方程联立，利用求出的值；（2）将题中问题转化为从而确定最大整数的值；（3）假设，考查函数和的单调性，从而将，得到，于是得到，然后构造函数

，转化为函数在区间为单调递增函数，于是得到在区间上恒成立，利用参变量分离法求出的取值范围.

（1），，，

函数的图象在点处的切线方程为，

直线与函数的图象相切，由，消去得，

则，解得或；

（2）当时，，

，

当时，，在上单调递减，

，，

则，

，故满足条件的最大整数；

（3）不妨设，函数在区间上是增函数，，

函数图象的对称轴为，且，函数在区间上是减函数，

，

等价于，

即，

等价于在区间上是增函数，

等价于在区间上恒成立，

等价于在区间上恒成立，

，又，.

（1）,（2）当汽车以千米∕时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为升

试题分析：（1）解实际问题应用题，需正确理解题目含义. 从甲地到乙地需耗油等于每小时的耗油量乘以行驶时间. 从甲地到乙地行驶了（小时），每小时的耗油量为，，所以共需耗油，（2）在（1）的基础上，将从甲地到乙地耗油表示为速度的函数关系式：，利用导数求出其极小值，也是最小值.解题过程中需明确极值点是否在定义区间内.

试题解析：解：（1）当时，汽车从甲地到乙地行驶了（小时），

需耗油（升）。

所以汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油升 …4分.

（2）当汽车的行驶速度为千米∕时时，从甲地到乙地需行驶小时.

设耗油量为升，依题意，得

，.……7分

 .

令 ，得 .

因为当时，，是减函数；当时，，是增函数，所以当时，取得最小值.

所以当汽车以千米∕时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，

最少为升。                 12分

(1) 极小值为f(2)＝ln 2－ (2)见解析   (3) 存在实数m＝1使得曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点

(1)f′(x)＝m(x－1)－2＋ (x＞0)．

当m＝时，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝.

f (x)，f′(x)在x∈(0，＋∞)上的变化情况如下表：

所以当x＝2时，函数f(x)在x∈[1,3]上取到极小值，且极小值为f(2)＝ln 2－.

(2)证明：令f′(x)＝0，得mx2－(m＋2)x＋1＝0.(*)

因为Δ＝ (m＋2)2－4m＝m2＋4＞0，所以方程(*)存在两个不等实根，记为a，b(a＜b)．

因为m≥1，所以，

所以a＞0，b＞0，即方程(*)有两个不等的正根，因此f′(x)＜0的解为(a，b)．

故函数f(x)存在单调递减区间[a，b]．

(3)因为f′(1)＝－1，所以曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y＝－x＋2.若切线l与曲线C有且只有一个公共点，则方程m(x－1)2－2x＋3＋ln x＝－x＋2有且只有一个实根．

显然x＝1是该方程的一个根．

令g(x)＝m(x－1)2－x＋1＋ln x，则g′(x)＝m(x－1)－1＋＝.

当m＝1时，有g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x＝1是方程的唯一解，m＝1符合题意．

当m＞1时，由g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝，则x2∈(0,1)，易得g (x)在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．

所以g(x2)＞g(x1)＝0，又当x趋近0时，g(x)趋近－∞，所以函数g(x)在内也有一个解，m＞1不符合题意．

综上，存在实数m＝1使得曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点．