热门试卷

（Ⅰ）（Ⅱ）函数不存在“中值相依切线”，理由见解析。

解：(Ⅰ)(1)当时，，直线与轴的交点为，即函数的零点为0，不在原点右侧，不满足条件.     (1分)

(2)当时，，抛物线的顶点为，即函数的零点为0，不在原点右侧，不满足条件.           (2分)

（3）当时，，抛物线开口向上且过原点，对称轴，所以抛物线与轴的另一交点在对称轴的左侧，故函数的零点不在原点右侧，不满足条件.       (3分)

（4）当时，，抛物线开口向上且过原点，对称轴，所以抛物线与轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数有一个零点在原点右侧，满足条件.          (4分)

（5）当时，，抛物线开口向下且过原点，对称轴，所以抛物线与轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数有一个零点在原点右侧，满足条件.                        (5分)

综上可得，实数的取值范围是.           (6分)

(Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.

设,是曲线上的不同两点，且，

则，.

          （8分）

曲线在点处的切线斜率

，       （9分）

依题意得：.

化简可得： ， 即=.    （11分）

设 ()，上式化为：, 即.   （12分）

令,.

因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立.

所以在内不存在,使得成立.

综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”.            （14分）

当时，等腰三角形的面积最大．

本试题主要考查了导数解决实际问题的中的最值问题的运用。

利用已知条件设出变量，然后表示半径为R的圆内，作内接等腰三角形的面积，结合导数的思想得到极值，进而得到最值。

如图，设圆内接等腰三角形的底边长为，高为，

那么

，

解得，于是内接三角形的面积为：

，

从而

，

令，解得，由于不考虑不存在的情况，所在区间上列表示如下：

由此表可知，当时，等腰三角形的面积最大．

解：（I） ∵m=3

∴,∴

故曲线在点（0，）处的切线方程为：y=3     4分

（II）由（I）知，要使函数在有两个极值点，只要方程有两个不等负根，那么实数m应满足，解得        8分

设两负根为，则，可只当时有极小值，由于对称轴为，

，

∴，，

 ∵

在上单调递增

∴

(I)可求出即在点(0,f(0))处切线的斜率,然后写出点斜式方程,再化成一般式即可.

(II)解决本小题的关键是把题目条件若函数上有两个极值点转化为

有两个不等的负根,从而借助韦达定理及差别式即可求解.