利用导数求参数的取值范围
共134题

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利用导数求参数的取值范围
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题型：填空题

填空题 · 5 分

16.若函数f(x)=的定义域为R，则实数m的取值范围为。

正确答案

(－1，+∞)

解析

由m≠x－ex，设g(x)=x－ex，得g'(x)=1－ex，显然x<0时，g'(x)>0，此时函数g(x)递增；

x>0时，g'(x)<0，此时函数g(x)递减；

于是当x=0时，函数有最大值g(0)=－1，于是函数g(x)的值域为(－∞，－1].

欲使x∈R时，都有m≠x－ex，则m的取值范围为(－1，+∞).

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围

题型：简答题

简答题 · 12 分

21．已知函数f(x)=lnx-ax2一a+2．（a∈R，a为常数）

(I)讨论函数f(x)的单凋性；

(II)若存在x0∈(0，1]，使得对任意的a∈(-2，0]，不等式mea+f(x0）>0（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．

正确答案

（1）函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；

（2）实数的取值范围是．

解析

试题分析：本题属于函数的应用中相对较难的问题，解题思路一般，但是运算还是有一定的难度，具体解析如下：

解：(Ⅰ)函数的定义域为，，

当时，，所以函数在区间上单调递增；

当时，由且解得，

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．

（II）由（1）知道当时，函数在区间上单调递增，

所以时，函数的最大值是，

对任意的，都存在，不等式都成立，

等价于对任意的，不等式都成立，

即对任意的，不等式都成立，

不等式可化为，

记，则，

所以的最大值是，

所以实数的取值范围是．

考查方向

本题考查了导数的运算、不等式恒成立问题，大体可以分成以下几类：导数的运算；2、简单复合函数的导数；3、不等式的恒成立问题；4、分类讨论的数学思想。

解题思路

本题考查函数的性质，运用导数进行求解，解题步骤如下：

1、根据题意，对函数求导，然后对参数a进行讨论；

2、在参数a的范围内进行不等式的求解；

3、第二问，在参数a的范围内讨论的单调性；

4、分离参数，构造新的函数，求出值域，进而得到参数的取值范围。

易错点

1、导数的运算出错；

2、求解函数的值域时出错；

3、对参数a进行讨论时考虑不全。

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求参数的取值范围

题型：简答题

简答题 · 12 分

21．已知函数（）．
（Ⅰ）当时，求的最小值；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）0

（Ⅱ）

解析

试题分析：本题属于导数的应用的常规题型，难度较大。函数的单调性、最值、恒成立问题等等，都可利用导数加以解决。

（Ⅰ）的定义域为，

当时，,，

令，则；令，则，

所以在单调递减，单调递增．

所以．

（Ⅱ）（），

①时，，在单调递减，恒成立与已知相矛盾．

②当时，由得，

所以的单调减区间是，单调增区间是．

当，即时，在单调递增，恒成立；

当，即时，在单调递减，在单调递增，存在，与已知相矛盾．

综上，实数的取值范围是．

考查方向

本题主要考查函数的基本性质、恒成立问题、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．难度较大．

解题思路

本题主要考查函数的基本性质、恒成立问题、导数的应用等基础知识，

解题步骤如下：利用导数确定函数的单调性，进而求出最小值；把恒成立问题转化为最值问题解决。

易错点

第一问导数公式易记错；

第二问恒成立问题不会转化为最值问题解决。

知识点

利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围

题型：简答题

简答题 · 12 分

21.已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若对任意不相等的，恒有成立，求非负实数的取值范围.

正确答案

见解析

解析

(Ⅰ)

(Ⅱ)

不妨设，又，

恒成立，等价于恒成立，即就是恒成立

令，则为单调递增函数

即就是恒成立

令

考查方向

函数的单调性，导数与函数的单调性，构造不等式

解题思路

求出函数的定义域，求导函数，判断单调区间，构造恰当的函数，结合不等式关系，求出参数的取值范围。

易错点

求导错误、对参数的分类讨论

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围

题型：简答题

简答题 · 13 分

19．已知函数

（Ⅰ）当时，求函数单调区间和极值；

（Ⅱ）若关于的方程有解，求实数的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）的极小值,无极大值．的单调递减区间为，单调递增区间为．

（Ⅱ）或．

解析

（Ⅰ）函数的定义域为．

．

当时，,

令，得，

所以随的变化情况如下表：

所以在处取得极小值, 无极大值．

的单调递减区间为，单调递增区间为．

（Ⅱ）因为关于的方程有解,

令，则问题等价于函数存在零点,

所以．

令，得．

当时，对成立，函数在上单调递减，

而，，

所以函数存在零点．

当时，随的变化情况如下表：

所以为函数的最小值,

当时，即时，函数没有零点,

当时，即时，注意到, 所以函数存在零点．

综上，当或时，关于的方程有解．

法二：

因为关于的方程有解，

所以问题等价于方程有解，

令，所以,

令，得

当时，随的变化情况如下表：

所以函数在处取得最大值，而．

，

所以函数存在零点．

当时，随的变化情况如下表：

所以函数在处取得最小值，而．

当时，即时，函数不存在零点．

当，即时，

所以函数存在零点．

综上，当或时，关于的方程有解．

法三：因为关于的方程有解，

所以问题等价于方程有解，

设函数，所以．

令，得，

随的变化情况如下表：

所以函数在处取得最大值，而，

又当时，, 所以,

所以函数的值域为,

所以当时，关于的方程有解，

所以．

考查方向

本题考查了利用导数求函数的单调性与极值，在近几年的各省高考题出现的频率非常高．

解题思路

（Ⅰ）求出函数的导函数，求得稳定点，再利用极值第一判定定理求得极值与单调性．

（Ⅱ）将方程解的问题转换为函数存在零点问题．

易错点

未注意到函数的定义域致误．

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求参数的取值范围

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