利用导数求参数的取值范围
共134题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

17.

已知各项都为正数的数列满足，.

（I）求；

（II）求的通项公式.

正确答案

解：（Ⅰ）由题意得 .........5分

（Ⅱ）由

因为{an}的各项都为正数，所以

故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此 ......12分

知识点

利用导数求参数的取值范围

题型：填空题

填空题 · 17 分

21．已知函数 ,，（，为常数）

（Ⅰ）若在处的切线过点，求的值；

（Ⅱ）设函数的导函数为，若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围；

（Ⅲ）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，求实数的取值范围。

正确答案

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）

解析

本题属于导数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）直接按步骤来求，

（2）要注意分离参数；

（3）要注意讨论。

（1）设在处的切线方程为，

因为，

且，所以，

切线方程为，即，

当，，将代入，得。

（2），

由题意，得有唯一解，

即方程有唯一解，

令，

则，

所以在区间，上是增函数，在区间是减函数，又，，故实数的取值范围是

（3）因为，所以，

因为存在极值，

所以在上有根，即在上有根，则有．

显然，当时，不存在极值（舍），即方程有两个不等正根，记方程的两个根为，

则，解得①；

又因为

，解得②；

由①②，得所求实数的取值范围是

考查方向

【考查方向】本题主要考查了导数的应用，导数的应用主要分以下几类：

1．利用导数的几何意义求切线方程，

2．利用导数研究函数的单调性、极值和最值或零点，

3．利用导数研究不等式恒成立或存在性。

易错点

1.第二问中，易忽视分离参数；

2.第三问中，易忽视“”的讨论．

知识点

导数的几何意义利用导数求函数的极值利用导数求参数的取值范围

题型：简答题

简答题 · 14 分

21. 已知函数（a为实常数）.

（1）若上为单调增函数；

（2）若，求函数在上的最小值及相应的x值；

（3）设b=0，若存在，使得成立，求实数a的取值范围.

正确答案

（1）在上为单调增函数；

（2）；

（3）.

解析

试题分析：本题属利用导数求单调区间、最值及不等式恒成立问题，解析如下：

解：（1）时，，定义域为，

时，恒成立，

所以在上为单调增函数(Ⅱ)因为，

所以，，

(i) 若，在上非负（仅当时，），

故函数在上是增函数，

此时

(ii)若，,

当时，, 当时，，此时是减函数；

当时，，此时是增函数．

故

（3），不等式，即可化为．

因为, 所以且等号不能同时取，

所以，即，

因而（）令（），

又，

当时，，，

从而（仅当时取等号），

所以在上为增函数，故的最小值为，

所以实数的取值范围是

考查方向

本题考查了利用导数求单调区间、最值及不等式恒成立问题。

易错点

第二问忘记分类讨论导致出错。

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围

题型：简答题

简答题 · 14 分

21．己知函数f(x)=a（x-）-2lnx，其中a∈R．

(1)若f(x)有极值，求a的取值范围；

(2)若f(x)有三个不同的零点x1,x2,x3，求证：

(参考数值：ln2≈0. 6931)

正确答案

（1）0<a<1；（2）当a≤0或a≥1时，有唯一零点；当0<a<1时，有三个零点．

解析

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求；（2）要注意对参数的讨论．

（1），因为f(x)定义域为（0，+∞），

所以ax2-2x+a=0有正根且不为等根。显然a≠0,由x1x2=1>0.得Δ>0且x1+x2>0,

所以 0<a<1 。

考查方向

本题考查了利用导数求含参数的函数极值，分类讨论，讨论点大体可以分成以下几类：（1）根据判别式讨论；（2）根据二次函数的根的大小；3、定义域由限制时，根据定义域的隐含条件；4、求导形式复杂时取部分特别常常只需要转化为一个二次函数来讨论；5、多次求导求解等．

解题思路

本题考查导数的性质，解题步骤如下：

（1）求导，然后解导数不等式，算极值。

（2）对参数分类讨论求得零点个数。

易错点

第二问中的易丢对a的分类讨论。

知识点

利用导数求函数的极值利用导数证明不等式利用导数求参数的取值范围

题型：简答题

简答题 · 12 分

21．已知函数（为常数），其图象是曲线．

（1）当时，求函数的单调减区间；

（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；

（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

正确答案

（1）；

（2）；

（3）当时，存在常数，使得；当时，不存在常数使得．

解析

（1）当时，．令，解得，

的单调减区间为．

（2），由题意知消去，得有唯一解．令，则，以在区间，上是增函数，在上是减函数，又，，故实数的取值范围是．

（3）设，则点处切线方程为，

与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标．由题意知，，，若存在常数，使得，则，即常数使得，所以，解得．故当时，存在常数，使得；当时，不存在常数使得．

考查方向

本题考查了利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程

解题思路

（1）先求原函数的导数，根据f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；

（2）由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，则

存在唯一的实数根x0，就把问题转化为求函数最值问题；（3）假设存在常数λ，依据曲线C在点A处的切线l1与曲线C交于另一点B，曲线C在点B处的切线l2，得到关于λ的方程，有解则存在，无解则不存在．

易错点

第二问中的方程根的问题转化成最值问题

知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求参数的取值范围

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