利用导数求参数的取值范围_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

20.设f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，a∈R.

(Ⅰ)令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；

(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.

正确答案

(Ⅰ)当时，函数单调递增区间为；

当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

(Ⅱ) .

解析

试题分析：(Ⅰ)求导数

可得，

从而，

讨论当时，当时的两种情况即得.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，.分以下情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，综合即得.

试题解析：(Ⅰ)由

可得，

则，

当时，

时，，函数单调递增；

当时，

时，，函数单调递增，

时，，函数单调递减.

所以当时，函数单调递增区间为；

当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，.

①当时，，单调递减.

所以当时，，单调递减.

当时，，单调递增.

所以在x=1处取得极小值，不合题意.

②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，

可得当当时，，时，，

所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，

所以在x=1处取得极小值，不合题意.

③当时，即时，在(0,1)内单调递增，在内单调递减，

所以当时，，单调递减，不合题意.

④当时，即，当时，，单调递增,

当时，，单调递减，

所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.

综上可知，实数a的取值范围为.

考查方向

1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围

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题型：填空题

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填空题 · 12 分

已知函数.

（I）当时，求曲线在处的切线方程；

(II)若当时，，求的取值范围.

正确答案

（I）的定义域为.当时，

，曲线在处的切线方程为

（II）当时，等价于

令，则

，

（i）当，时，，故在上单调递增，因此；

（ii）当时，令得

，

由和得，故当时，，在单调递减，因此.

综上，的取值范围是

知识点

导数的几何意义导数的运算利用导数求参数的取值范围

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题型：填空题

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填空题 · 14 分

设函数f(x)=ax2－a－lnx，g(x)=－，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数。

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；

（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立。

正确答案

（I）

<0，在内单调递减.

由=0，有.

当时，<0，单调递减；

当时，>0，单调递增.

（II）令=，则=.

当时，>0，所以，从而=>0.

（iii）由（II），当时，>0.

当，时，=.

故当>在区间内恒成立时，必有.

当时，>1.

由（I）有,从而，

所以此时>在区间内不恒成立.

当时，令=().

当时，=.

因此在区间单调递增.

又因为=0，所以当时，=>0，即>恒成立.

综上，.

知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求参数的取值范围

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题型：简答题

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简答题 · 15 分

设函数=，.证明：

24.；

25..

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明详见解析

解析

(Ⅰ)因为

由于，有即，

所以

考查方向

本题主要考查本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

利用放缩法，得到，从而得到结论

易错点

对函数的单调性与最值、分段函数等基础知识不熟悉，计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明详见解析.

解析

由得，

故，

所以.

由(Ⅰ)得，

又因为，所以，

综上，

考查方向

本题主要考查本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

由得，进行放缩，得到，再结合第一问的结论，得到，从而得到结论.

易错点

对函数的单调性与最值、分段函数等基础知识不熟悉，计算错误

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数

26.求的单调区间;

27.设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;

28.若方程有两个正实数根且,求证:.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

的单调递增区间是 ,单调递减区间是.

解析

试题分析：由,可得的单调递增区间是 ,单调递减区间是.

由,可得,当 ,即时,函数单调递增;当 ,即时,函数单调递减.所以函数的单调递增区间是 ,单调递减区间是.

考查方向

本题主要考查导数的运算、导数的几何意义．

解题思路

给出可导函数求单调区间,实质是解关于导函数的不等式,若函数解析式中不含参数,一般比较容易.不过要注意求单调区间,要注意定义域优先原则,且结果必须写成区间形式,不能写成不等式形式.

易错点

导数函数性质与原函数单调性的关系.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

, ,证明在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有.

设 ,则 , 曲线在点P处的切线方程为 ,即,令即则.

由于在单调递减,故在单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有.

解析

见答案.

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的性质等基础知识．

解题思路

利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.

易错点

构造函数的性质与所求问题的联系

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

设方程的根为 ,可得,由在单调递减,得 ,所以 .设曲线在原点处的切线为方程的根为 ,可得 ,由在在单调递增,且 ,可得所以 .

由（II）知 ,设方程的根为 ,可得,因为在单调递减,又由（II）知 ,所以 .类似的,设曲线在原点处的切线为可得 ,对任意的,有即 .设方程的根为 ,可得 ,因为在单调递增,且 ,因此, 所以.

解析

见答案.

考查方向

本题主要考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．

解题思路

利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.

易错点

导数的几何意义及导函数与原函数之间的联系

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

知识点

正确答案

知识点

正确答案

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

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易错点

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考查方向

解题思路

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正确答案

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考查方向

解题思路

易错点