- 随机变量及其分布
- 共3822题
投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审,若能通过两位初审专家的评审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5,复审的稿件能通过评审的概率为0.3,各专家独立评审。
(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率;
(2)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数,求X的分布列及期望。
正确答案
解:(1)记A表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审;
B表示事件:稿件恰能通过一位初审专家的评审;
C表示事件:稿件能通过复审专家的评审;
D表示事件:稿件被录用,
则D=A+B·C
;
(2)X~B(4,0.4),其分布列为
期望EX=4×0.4=1.6。
已知参赛号码为1~4号的四名射箭运动员参加射箭比赛。
(1)通过抽签将他们安排到1~4号靶位,试求恰有一名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率;
(2)记1号,2号射箭运动员,射箭的环数为ξ(ξ所有取值为0,1,2,3...,10)。
根据教练员提供的资料,其概率分布如下表:
①若1,2号运动员各射箭一次,求两人中至少有一人命中8环的概率;
②判断1号,2号射箭运动员谁射箭的水平高?并说明理由。
正确答案
解:(1)从4名运动员中任取一名,其靶位号与参赛号相同,有种方法,
另3名运动员靶位号与参赛号均不相同的方法有2种,
所以恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率为;
(2)①由表可知,两人各射击一次,都未击中8环的概率为P=(1-0.2)(1-0.32)=0.544,
∴至少有一人命中8环的概率为p=1-0.544=0.456;
②,
,
所以2号射箭运动员的射箭水平高。
为振兴旅游业,四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中是省外游客,其余是省内游客。在省外游客中有
持金卡,在省内游客中有
持银卡。
(1)在该团中随机采访2名游客,求恰有1人持银卡的概率;
(2)在该团中随机采访2名游客,求其中持金卡与持银卡人数相等的概率。
正确答案
解:(1)由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡
设事件A为“采访该团2人,恰有1人持银卡”
P(A)==
;
(2)设事件B为“采访该团2人中,持金卡人数与持银卡人数相等”,
事件A1为“采访该团2人中,0人持金卡,0人持银卡”,
事件A2为“采访该团2人中,1人持金卡,1人持银卡”
P(B)=P(A1)+P(A2)==
所以采访该团2人中,持金卡人数与持银卡人数相等的概率是。
一次数学考试共有10道选择题,每道选择题都有4个选项,其中有且只有一个选项是正确的,设计试卷时,安排前n道题使考生都能得出正确答案,安排8-n道题,每题得出正确答案的概率为,安排最后两道题,每题得出正确答案的概率为
,且每题答对与否相互独立,同时规定:每题选对得5分,不选或选错得0分。
(1)当n=6时,
①分别求考生10道题全答对的概率和答对8道题的概率;
②问考生答对几道题的概率最大,并求出最大值;
(2)要使考生所得分数的期望不小于40分,求n的最小值。
正确答案
解:(1)①当n=6时,10道题全答对,即后四道题全答对的相互独立事件同时发生,10道题全答对的概率为;
答对8道题的概率为
。
②答对题的个数X的可能值为6,7,8,9,10,其概率分别为:
又
所以答对7道题的概率最大,为。
(2)当n=6时,分布列为:
=37.5
当n=7时,Eξ=40
所以n的最小值为7。
在三种产品,合格率分别是0.90,0.95和0.95,各抽取一件进行检验。
(1)求恰有一件不合格的概率;
(2)求至少有两件不合格的概率。(精确到0.001)
正确答案
解:设三种产品各抽取一件,抽到合格产品的事件分别为A、B和C
(1)P(A)=0.90,P(B)=P(C)=0.95
P=0.10,P
=P
=0.05
因为事件A,B,C相互独立,恰有一件不合格的概率为
P(A·B·)+P(A·
·C)+P(
·B·C)
=P(A)·P(B)·P()+P(A)·P(
)·P(C)+P(
)·P(B)·P(C)
=2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95 =0.176
答:恰有一件不合格的概率为0.176。
(2)至少有两件不合格的概率为
=0.90×0.052+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.052 =0.012
答:至少有两件不合格的概率为0.012。
某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E运至销售城市F,已知从城市E到城市F有两条公路.统计表明:汽车走公路Ⅰ堵车的概率为,走公路Ⅱ堵车的概率为
,若甲、乙两辆汽车走公路Ⅰ,第三辆汽车丙由于其他原因走公路Ⅱ运送水果,且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率.
(Ⅱ)求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率.
正确答案
解:设“汽车甲走公路Ⅰ堵车”为事件A,“汽车乙走公路Ⅰ堵车”为事件B,“汽车丙走公路Ⅱ堵车”为事件C.
(Ⅰ)甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车,有2种情况,即甲堵车而乙不堵车和甲不堵车而乙堵车,则其概率为P1=P(·B)+P(A·
)=
×(1﹣
)+(1﹣
)×
=
,
故甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为;
(Ⅱ)甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车即三辆车全部堵车或恰有两辆汽车堵车,
则其概率P2=P(A·B·C)+P(·B·C)+P(A·
·C)+P(A·B·
)
=×
×
+(1﹣
)×
×
+
×(1﹣
)×
+
×
×(1﹣
)=
;
故三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为.
已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球,乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球,
(Ⅰ)求取出的4个球均为红球的概率;
(Ⅱ)求取出的4个球中恰有1个红球的概率。
正确答案
解:(Ⅰ)设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A,
“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B,
由于事件A,B相互独立,
且,
故取出的4个球均为红球的概率是;
(Ⅱ)设“从甲盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球;从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件C,
“从甲盒内取出的2个球均为黑球;从乙盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球”为事件D,
由于事件C,D互斥,
且,
故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为。
在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投3次;在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止投篮,否则投第三次。某同学在A处的命中率q1为0.25,在B处的命中率为q2。该同学选择先在A处投一球,以后都在B处投,用X表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为:
(1)求q2的值;
(2)求随机变量X的均值E(X);
(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。
正确答案
解:(1)由题设知,“X=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”,
由对立事件和相互独立事件性质可知 P(X=0)=(1-q1)(1-q2)2=0.03。
(2)根据题意
P1=P(X=2)=(1-q1)C12(1-q2)q2=0.75×2×0.2×0.8=0.24;
P2=P(X=3)=q1(1-q2)2=0.25×(1-0.8)2=0.01;
P3=P(X=4)=(1-q1)q22=0.75×0.82=0.48;
P4=P(X=5)=q1q2+q1(1-q2)q2 =0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24
因此E(X)=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63。
(3)用C表示事件“该同学选择第一次在A处投,以后都在B处投,得分超过3分”,
用D表示事件“该同学选择都在B处投,得分超过3分”,
则 P(C)=P(X=4)+P(X=5)=P3+P4=0.48+0.24=0.72
P(D)=q22+C21q2(1-q2)q2=0.82+2×0.8×0.2×0.8=0.896
故P(D)>P(C)
即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率。
某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题,规则如下:
①每位参加者计分器的初始分均为10分,答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分,答错任一题减2分;
②每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足14分时,答题结束,淘汰出局;
③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答,直至答题结束.
假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为,且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率;
(Ⅱ)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求ξ的分布列和数学期望Eξ。
正确答案
解:设A、B、C、D分别为第一、二、三、四个问题,
用Mi(i=1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答正确,
用Ni(i=1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答错误,则Mi与Ni是对立事件(i=1,2,3,4),
由题意得,,
所以,
(Ⅰ)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q,
则,
由于每题答题结果相互独立,因此
;
(Ⅱ)由题意,随机变量ξ的可能取值为2,3,4,
由于每题答题结果相互独立,
所以,
,
,
因此随机变量ξ的分布列为
所以。
要获得某项英语资格证书必须依次通过听力和笔试两项考试,只有听力成绩合格时,才可继续参加笔试的考试.已知听力和笔试各只允许有一次不考机会,两项成绩均合格方可获得证书.现某同学参加这项证书考试,根据以往模拟情况,听力考试成绩每次合格的概率均为,笔试考试成绩每次合格的概率均为
,假设各次考试成绩合格与否均互不影响.
(1)求他不需要补考就可获得证书的概率;
(2)求他恰好补考一次就获得证书的概率;
(3)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为ξ,求参加考试次数ξ的分布列和期望值.
正确答案
解:设“听力第一次考试合格”为事件A1,“听力补考合格”为事件A2;“笔试第一次考试合格”为事件B1“笔试补考合格”为事件B2.
(1)不需要补考就获得证书的事件为A1B1,注意到A1与B1相互独立,
则P(A1?B1)=P(A1)×P(B1)=×
=
.
答:该考生不需要补考就获得证书的概率为.
(2)恰好补考一次的事件是
则P()=P(
)+P(
)
==
=
(3)由已知得,ξ=2,3,4,
注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得
P(ξ=2)=P(A1?B1)+P()=
×
+
×
=
+
=
P(ξ=3)=P(A1??)+P(
?A2?B2)=
P(ξ=4)=P(?A2??B2)+P(
?A2??
)=
×
=
+
=
参加考试次数ξ的期望值
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为
,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为
,
(Ⅰ)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率;
(Ⅱ)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率。
正确答案
解:(Ⅰ)设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件,
由题设条件有,即
,
由①、③得,
代入②得27[P(C)]2-51P(C)+22=0,解得(舍去),
将分别代入③、②,可得
,
即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是;
(Ⅱ)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的事件,
则,
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的概率为。
某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一等品都能通过检测,每一件二等品通过检测的概率为,现有10件产品,其中6件是一等品,4件是二等品。
(1)随机选取1件产品,求能够通过检测的概率;
(2)随机选取3件产品,其中一等品的件数记为X,求X的数学期望;
(3)随机选取3件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率。
正确答案
解:(1)设随机选取一件产品,能够通过检测的事件为A,
事件A等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”
;
(2)由题可知随机变量X服从超几何分布,
∴,也可计算,
,
,
,
,
∴;
(3)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B,
事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以。
某会议室用5盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同。假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1,寿命为2年以上的概率为p2;从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的灯泡,平时不换,
(Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率;
(Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率;
(Ⅲ)当p1=0.8,p2=0.3时,求在第二次灯泡更换工作中,至少需要更换4只灯泡的概率(结果保留两个有效数字)。
正确答案
解:(Ⅰ)在第一次更换灯泡工作中,不需要换灯泡的概率为,
需要更换2只灯泡的概率为;
(Ⅱ)对该盏灯来说,在第1、2次都更换了灯泡的概率为(1-p1)2;
在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1-p2),
故所求的概率为;
(Ⅲ)至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况,换5只的概率为p5(其中p为(Ⅱ)中所求,下同),
换4只的概率为(1-p),
故至少换4只灯泡的概率为,
又当p1=0.8,p2=0.3时,,
∴,
即满两年至少需要换4只灯泡的概率为0.34。
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投3次;在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止投篮,否则投第三次,某同学在A处的命中率q1为0.25,在B处的命中率为q2,该同学选择先在A处投一球,以后都在B处投,用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为
(1)求q2的值;
(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ;
(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。
正确答案
解:(1)设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,
则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,,P(B)=q2,
,
根据分布列知:ξ=0时,=0.03,
所以;
(2)当ξ=2时,P1==0.75q2(
)×2=1.5q2(
)=0.24,
当ξ=3时,P2==0.01,
当ξ=4时,P3==0.48,
当ξ=5时,P4=
=0.24,
所以随机变量ξ的分布列为
随机变量ξ的数学期望。
(3)该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为
,
该同学选择(1)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72,
由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大。
某课程考核分理论与实验两部分进行,每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”。甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7;在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9。所有考核是否合格相互之间没有影响,
(Ⅰ)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率;
(Ⅱ)求这三人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数)。
正确答案
解:记“甲理论考核合格”为事件A1,“乙理论考核合格”为事件A2,“丙理论考核合格”为事件A3,记为Ai的对立事件,i=1,2,3;
记“甲实验考核合格”为事件B1,“乙实验考核合格”为事件B2,“丙实验考核合格”为事件B3,
(Ⅰ)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C,记为C的对立事件,
;
(Ⅱ)记“三人该课程考核都合格”为事件D,
,
所以,这三人该课程考核都合格的概率为0.254。
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