- 随机变量及其分布
- 共3822题
一种信号灯，只有符号“√”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“√”和“×”两者之一，其中出现“√”的概率为
（1）求信号灯在4次变化中恰好2次出现“√”的概率．
（2）求S4=2的概率．
正确答案
（1）根据题意，信号灯在4次变化中恰好2次出现“√”，即4次独立重复试验中恰有2次发生，
则其概率P=
（2）S4=a1+a2+a3+a4=2，a1、a2、a3、a4的值为1或-1，
分析可得，a1、a2、a3、a4中，有3个为1，另1个为-1，
即前4次变化中“√”出现3次，“×”出现1次．
则其概率P=
某公司在开发的初级阶段大量生产一种产品．这种产品是否合格要进行A、B两项技术指标检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为
（1）任意依次抽出5个产品进行检测，求其中至多3个产品是合格品的概率是多少；
（2）任意依次抽取该种产品4个，设ξ表示其中合格品的个数，求Eξ与Dξ．
正确答案
（1）设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2
由题意得：
解得：P1=
∴P=P1P2=
即，一个产品经过检测为合格品的概率为
任意抽出5个产品进行检查，其中至多3个产品是合格品的概率为1-
（2）依题意知ξ～B（4，
已知盒中有件10产品，其中8件正品，2件次品，连续抽取三次，每次抽取一件，有放回的抽取（1）求抽到3件次品的概率；（2）求抽到次品数ξ的分布列及数学期望．
正确答案
（1）∵盒中有件10产品，其中8件正品，2件次品，
连续抽取三次，每次抽取一件，有放回的抽取，
∴抽到的次品数ξ～B（3，0.2）…（2分）
∴抽到3件次品的概率是P（ξ=3）=C33×0.23×0.80=0.008…（6分）
（2）抽到的次品数ξ的可取值k=0，1，2，3…（7分）
由ξ～B（3，0.2），
∴P（ξ=k）=C3k×0.2k×0.83-k（k=0，1，2，3）…（8分）
∴ξ的分布列是
…（10分）
数学期望Eξ=3×0.2=0.6…（12分）
每进行一次游戏，赢的话可领取1000元，输的话则要罚300元．在这种游戏中某人赢的概率是
（1）在这8次游戏中，求赢了多少次才能保证在扣除罚款后至少可得6000元；
（2）试求在这8次游戏中，扣除罚款后至少可得到6000元的概率．
正确答案
（1）设赢了x次，由题意可得 1000x-300（8-x）≥6000，解得 x≥6
故赢了7次才能保证在扣除罚款后至少可得6000元．
（2）在这8次游戏中，赢了7次或8次，才能保证扣除罚款后至少可得到6000元，
故所求的概率为 
1
3
)7•
1
3
)8=
箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________________.
正确答案
试题分析：由题意知，首先求出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有
高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛. 比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛. 已知每盘比赛双方胜出的概率均为
（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？
正确答案
同解析
解：（I）参加单打的队员有
参加双打的队员有
所以，高三（1）班出场阵容共有
（II）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两
盘胜，所以，连胜两盘的概率为
已知10个乒乓球中有2个次品，现从中无放回的取球．
（Ⅰ）从中任意取出4个乒乓球，求其中恰有1个是次品的概率（用数字作答）；
（Ⅱ）若使2个次品全部被取出来的概率不小于0.8，则至少应抽取几个乒乓球？
正确答案
（1）从中任意取出4个乒乓球，其中恰有1个是次品的概率p1=
（2）若使2个次品全部被取出来的概率不小于0.8，设至少应抽取n个乒乓球，
则
∴
解得n≥9．
∴若使2个次品全部被取出来的概率不小于0.8，至少应抽取9个乒乓球．
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是
（Ⅰ）求甲射击5次，有两次未击中目标的概率；
（Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次，且乙恰好击中目标3次的概率．
正确答案
（I）设“甲射击5次，有两次未击中目标”为事件A，
则P(A)=
答：甲射击5次，有两次未击中目标的概率为
（Ⅱ）设“两人各射击4次，甲恰好击中目标2次，且乙恰好击中目标3次”为事件B，
则P(B)=
答：两人各射击4次，甲恰好击中目标2次，且乙恰好击中目标3次的概率为
同时抛掷15枚均匀的硬币一次
（1）试求至多有1枚正面向上的概率；
（2）试问出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率是否相等？请说明理由
正确答案
（1）记“抛掷1枚硬币1次出现正面向上”为事件A，P（A）=
抛掷15枚均匀的硬币一次相当于做15次独立的重复试验，
根据n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式，记至多有1枚正面向上的概率为P1，
则P1=P（0）+P（1）=C150(
1
2
)15+C151(
1
2
)15=
（2）记正面向上为奇数枚的概率为P2，记正面向上为偶数枚的概率为P3，
则有P2=P（1）+P（3）+…+P（15）=C151(
1
2
)15+C153(
1
2
)15+…+C1515(
1
2
)15
=(
1
2
)15（C151+C153+…+C1515）=
又“出现正面向上为奇数枚”的事件与“出现正面向上为偶数枚”的事件是对立事件
∴P3=1-
∴出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率相等
为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了40名市民，得到数据如下表：
已知在全部的40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为
（1）请将
（2）已知大于40岁患心肺疾病市民中，经检查其中有4名重症患者，专家建议重症患者住院治疗，现从这16名患者中选出两名，记需住院治疗的人数为
（3）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？
下面的临界值表供参考：
（参考公式：
正确答案
（1）详见解析（2）
（3）所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关
试题分析：（1）根据在全部40人中随机抽取1人抽到不患心肺疾病的概率为
（2）在患心肺疾病的16位患者中，有4位又患重症患者，记住院人数为
（3）利用公式求得
试题解析：（1）
4分
（2）
（3）
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关。 12分
（本题满分12分）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30.第6小组的频数是7.
( I ) 求这次铅球测试成绩合格的人数；
(II)用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记
正确答案
解：(I)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)
＝0.14， ……………………………2分
∴此次测试总人数为
∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)． ……6分
(II)
∴
∴
D(X)=2×
略
一枚均匀的硬币连续掷4次，出现正面的次数多于反面次数的概率是______．
正确答案
由题意知本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，
正面出现的次数比反面出现的次数多包括
正面出现4次，反面出现0次；
正面出现3次，反面出现1次；
共有两种情况，这两种情况是互斥的，
∴正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是：
1
2
)4(
1
2
)0+
1
2
)3(
故答案为
在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为
正确答案
设事件A在每次试验中发生的概率都是P，则由事件A至少发生一次的概率为
解得P=
故事件A恰好发生一次的概率为 
故答案为 
某种植企业同时培育甲、乙两个品种杉树幼苗，甲品种杉树幼苗培育成功则每株利润80元，培育失败，则每株亏损20元；乙品种杉树幼苗培育成功则每株获利润150元，培育失败，则每株亏损50元．统计数据表明：甲品种杉树幼苗培育成功率为90%，乙品种杉树幼苗培育成功率为80%．假设每株幼苗是否培育成功相互独立．
（I）求培育3株甲品种杉树幼苗成功2株的概率；
（II）记ξ为培育1株甲品种杉树幼苗与1株乙品种杉树幼苗可获得的总利润，求ξ的分布列及其期望．
正确答案
（Ⅰ）P=C32×0.92×（1-0.9）=0.243．
（Ⅱ）ξ的可能取值为230，130，30，-70
ξ的分布列
即：
期望．Eξ=230×0.72+30×0.18+130×0.08+（-70）×0.02=180
正确答案
略
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