- 随机变量及其分布
- 共3822题
某篮球运动员在罚球线投中球的概率为
正确答案
∵由题意知运动员在罚球线投中球的概率为
可以看做运动员在做独立重复试验，
∴比赛中罚3球恰好命中2球的概率为
2
3
)2×
故答案为
设甲、乙两套方案在一次实验中通过的概率均为0.3，且两套方案在实验过程中相互之间没有影响，则两套方案在一次实验中至少有一套通过的概率为（ ）
正确答案
0.51
一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为
正确答案
设此射手每次射击命中的概率为p，分析可得，至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中，
由题意可知一射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为1-
则（1-p）4=
解可得p=
故答案为：
某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元；若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立，
(Ⅰ)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
(Ⅱ)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
正确答案
解：(Ⅰ)由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且
由此得X的分布列为
(Ⅱ)设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有(4-n)件，
由题设知4n-（4-n）≥10，解得
又n∈N，得n=3或n=4，
所以
故所求概率为0.8192。
两个口袋A、B里都有若干个红球和黑球，从口袋A 里摸出一个红球的概率是
（1）从口袋A里有放回地摸球，每次摸出一个球，有两次摸到红球即停止。
求：①恰好摸4次停止的概率；
②记4次之内（含4次）摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的期望；
（2）若口袋A、B里的球数之比是1：2，将口袋A、B里的球装在一起，从中摸出一个红球的概率是
正确答案
解：（1） ①∵恰好摸4次停止，
∴第4次摸到的一定红球，且前3次仅有1次摸到红球，
∴恰好摸4次停止的概率为：
②∵有两次摸到红球即停止，
∴随机变量ξ的可能取值为0，1，2，
根据n次独立重复实验的概率公式
∴随机变量ξ的分布列为：
∴随机变量ξ的期望为
（2）设口袋A里有m个球，则口袋B里有2m个球，
∴
某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛中获胜的事件是独立的，并且获胜的概率均为
（1）求这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率；
（2）求这支篮球队在6场比赛中恰好获胜3场的概率；
（3）求这支篮球队在6场比赛中获胜场数的期望．
正确答案
（1）这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率为P=(1-
1
3
)2×
（2）6场比赛中恰好获胜3场的情况有C63，
故概率为C63×(
1
3
)3×(1-
1
3
)3=20×
（3）由于X服从二项分布，即X～B（6，
∴EX=6×
在一次口试中，要从5道题中随机抽出3道题进行回答，答对其中的2道题就获得优秀，答对其中的1道题就获得及格．某考生会回答5道题中的2道题．求：
（1）他获得优秀的概率是多少？
（2）他获得及格或及格以上的概率是多少？
正确答案
（1）从5道题中随机抽出3道题进行回答的抽法有C53=10种，他获得优秀的抽法有C22C31=3种，
故他获得优秀的概率是 
（2）他获得及格或及格以上的概率等于1减去他不及格的概率，即 1-
某篮球运动员在罚球线投中球的概率为
正确答案
∵由题意知运动员在罚球线投中球的概率为
可以看做运动员在做独立重复试验，
∴比赛中罚3球恰好命中2球的概率为
2
3
)2×
故答案为
连续三次抛掷一枚硬币，则恰有两次出现正面的概率是（ ）。
正确答案
一个学生通过某种英语听力测试的概率是
正确答案
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各件产品相互独立。
（Ⅰ）记x（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
（Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
正确答案
解：（Ⅰ）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3
且P（X=10）=0.8×0.9=0.72
P（X=5）=0.2×0.9=0.18
P（X=2）=0.8×0.1=0.08
P（X=-3）=0.2×0.1=0.02
由此得X的分布列为：
（Ⅱ）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有（4-n）件，
由题设知4n-（4-n）≥10，解得：
又n∈N，得n=3或n=4，
所以P= C43·0.83·0.2+C44·0.84=0.8192，
故所求概率为0.8192。
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各件产品相互独立。
（Ⅰ）记x（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
（Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
正确答案
解：（Ⅰ）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3
且P（X=10）=0.8×0.9=0.72
P（X=5）=0.2×0.9=0.18
P（X=2）=0.8×0.1=0.08
P（X=-3）=0.2×0.1=0.02
由此得X的分布列为：
（Ⅱ）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有（4-n）件，
由题设知4n-（4-n）≥10，解得：
又n∈N，得n=3或n=4，
所以P= C43·0.83·0.2+C44·0.84=0.8192，
故所求概率为0.8192。
我国第一颗探月卫星“嫦娥一号”是由长征运载火箭发射的，它能发射成功的概率现在已提高到99.9% 。
令
（1）试写出随机变量X的分布列；
（2）继“嫦娥一号”之后，我国拟发射“嫦娥二号”和“嫦娥三号”探月卫星，若仍用长征运载火箭发射，求三次都发射成功的概率。（其中0.9993≈0.997）
正确答案
解：（1）根据分布列的性质，发射不成功的概率是1-99.9%=0.001，
所以随机变量X 的分布列是
（2）设ξ为发射成功的次数，则ξ～B（3，0.999），
所以P（ξ=3）=
某人进行射击训练，击中目标的概率是
（Ⅰ）假设该人射击5次，求恰有2次击中目标的概率；
（Ⅱ）假设该人每射击5发子弹为一组，一旦命中就停止，并进入下一组练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，求：
①在完成连续两组练习后，恰好共使用了4发子弹的概率；
②一组练习中所使用子弹数ξ的分布列，并求ξ的期望．
正确答案
解：（I）设射击5次，恰有2次击中目标的事件为A． ∴
（Ⅱ）①完成两组练习后，恰好共耗用4发子弹的事件为B，
则 P（B）=0.8·（1﹣0.8）2·0.8+（1﹣0.8）·0.8（1﹣0.8）·0.8+（1﹣0.8）2·0.8·08=0.0768． ②ξ可能取值为1，2，3，4，5．
P（ξ=1）=0.8；
P（ζ=2）=（1﹣0.8）·0.8=0.16；
P（ζ=3）=（1﹣0.8）2·0.8=0.032；
P（ζ=4）=（1﹣0.8）3·0.8=0.0064；
P（ζ=5）=（1﹣0.8）4·0.8=0.0016
ζ的分布列为
∴Eζ=1×0.8+2×0.16+3×0.032+4×0.0064+5×0.0016=1.2496
某次国际象棋友谊赛在中国队和乌克兰队之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往战况，每局中国队赢的概率为
（1）求S3=4的概率；
（2）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行。设随机变量ξ表示此次比赛共进行的局数，求ξ的分布列及数学期望。
正确答案
解：（1）
（2）ξ的可能取值为2，3，4，
∴ξ的分布列为
∴
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