直线与抛物线的位置关系
共49题

· 直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系
共49题

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题型：填空题

填空题 · 4 分

9．直线与曲线（为参数）的交点坐标是（）

正确答案

解析

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知识点

直线与抛物线的位置关系参数方程化成普通方程抛物线的参数方程

题型：简答题

简答题 · 16 分

在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知曲线上任意一点（其中）到定点的距离比它到轴的距离大1.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）若过点的直线与曲线相交于不同的两点，求的值；

（3）若曲线上不同的两点、满足求的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是

以原点为顶点，为焦点的抛物线………（2分）

∵

∴

∴　曲线方程是 ………（4分）

（2）当平行于轴时，其方程为，由解得、

此时 ………（6分）

当不平行于轴时，设其斜率为，

则由得

设则有， ………（8分）

∴

………（10分）

（3）设

∴ ………（12分）

∵

∴

∵，化简得

∴ ………（14分）

当且仅当时等号成立

∵

∴当的取值范围是………（16分）

知识点

向量在几何中的应用直线与抛物线的位置关系直接法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线于点，当时，。

（1）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；

（2）若位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）设，则切线的方程为，

所以，，，所以，

所以为等腰三角形，且为中点，所以，，，得，抛物线方程为 ……………… 4分

（2）设，则处的切线方程为

由，

同理，……………………………………………………6分

所以面积……① ……8分

设的方程为，则

由，得代入①得：

，使面积最小，则

得到…………② 令，

②得，，

所以当时单调递减；当单调递增，

所以当时，取到最小值为，此时，，

所以，即。……………………………………………………12分

知识点

抛物线的定义及应用直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

设点P是曲线C:x2=2py（p>0）上的动点，点P到点（0,1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为。

（1）求曲线C的方程；

（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）依题意知，解得.

所以曲线的方程为.

（2）由题意直线的方程为：，则点

联立方程组，消去得

得.

所以得直线的方程为.

代入曲线，得.

解得.

所以直线的斜率.

过点的切线的斜率.

由题意有.

解得.

故存在实数使命题成立，

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的探索性问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

“a=2”是“直线y=﹣ax+2与y=垂直”的（　　）

A充分不必要条件

B 必要不充分条件

C充要条件

D 既不充分也不必要条件

正确答案

解析

解：当a=2时直线y=﹣ax+2的斜率是﹣2，直线y=的斜率是2，

满足k1•k2=﹣1

∴a=2时直线y=﹣ax+2与y=垂直，

直线y=﹣ax+2与y=垂直，则﹣a•a=﹣1，解得a=±2，

“a=2”是“直线y=﹣ax+2与y=垂直”的充分不必要条件。

故选A。

知识点

直线与抛物线的位置关系

题型：简答题

简答题 · 10 分

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线交于两点，求线段AB的长。

正确答案

见解析。

解析

直线l：代入抛物线方程并整理得

∴交点，，故

知识点

直线与抛物线的位置关系直线的参数方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

6.直线，直线与直线关于轴对称，且与抛物线相切，则（）

正确答案

解析

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知识点

与直线关于点、直线对称的直线方程直线与抛物线的位置关系

题型：单选题

单选题 · 5 分

11．抛物线的焦点为F，点A,B在抛物线上，且，弦AB中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（）

正确答案

解析

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知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

16．已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离.

（Ⅰ）试判断点的轨迹的形状，并写出其方程.

（Ⅱ）是否存在过的直线，使得直线被截得的弦恰好被点所平分？

正确答案

（Ⅰ）因点到点的距离等于它到直线的距离，

所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为.

（Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，

依题意，得.

①当直线的斜率不存在时，不合题意.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立方程组，

消去，得，（*）

∴，解得.

此时，方程（*）为，其判别式大于零，

∴存在满足题设的直线　　　　　　　　　　

且直线的方程为：即. 　　

解法二：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，

依题意，得.

易判断直线不可能垂直轴，

∴设直线的方程为，

联立方程组，

消去，得，

∵,

∴直线与轨迹必相交.

又，∴.

∴存在满足题设的直线　　　　　

且直线的方程为：即.

解法三：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，

依题意，得.

∵在轨迹上，

∴有，将，得.

当时，弦的中点不是，不合题意，

∴，即直线的斜率,

注意到点在曲线的张口内（或：经检验，直线与轨迹相交）

∴存在满足题设的直线　

且直线的方程为：即.

解析

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知识点

抛物线的定义及应用直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

5．过抛物线＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若｜AF｜＝3，则△AOB的面积为（）

正确答案

解析

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知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与抛物线的位置关系

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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