两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：填空题

填空题

已知α∈(-，0)，cosα=，则tan(α+)=______．

正确答案

∵α∈(-，0)，cosα=

∴sinα==-

即tanα=-

∴tan（α+）==-

故答案为：-

题型：填空题

填空题

化简cos20°cos（α-20°）+sin200°sin（α-20°），得其结果为______．

正确答案

∵sin200°=sin（180°+20°）=-sin20°

∴cos20°cos（α-20°）+sin200°sin（α-20°）=cos20°cos（α-20°）-sin20°sin（α-20°）=cosa，

故答案为：cosα

题型：简答题

简答题

在△ABC中，cos（+A）=，求cos2A的值．

正确答案

在△ABC中，cos（+A）=，∴sin（A+）=．

∴cos2A=sin（+2A）=2sin（A+） cos（A+）=2××=．

题型：简答题

简答题

已知：=-1

求证：3sin2θ=-4cos2θ

正确答案

证明：由已知 cosθ=-2sinθ，又sin2θ+cos2θ=1，所以，sin2 θ=．

故 3sin2θ+4cos2θ=6sinθ（-2sin θ）+4（1-2sin2θ ）=-12sin2θ+4-8sin2θ

=-20sin2θ+4=0，所以，3sin2θ=-4cos2θ．

题型：填空题

填空题

若角α的终边落在直线y=-x上，则+的值等于 ______．

正确答案

原式=+=+，

∵角α的终边落在直线y=-x上，

∴角α是第二或第四象限角．

当α是第二象限角时，+=+=0，

当α是第四象限角时，+=+=0

故答案为：0．

题型：简答题

简答题

已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx－ (ω>0)的最小正周期为π．

(1)求ω值及f(x)的单调递增区间；

(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝，f()＝，求角C的大小．

正确答案

（1）增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)

（2）当B＝时，C＝π－－＝；当B＝时，C＝π－－＝．

解：(1)f(x)＝＋sin2ωx－＝sin(2ωx＋)．

∵T＝π，∴ω＝1，

∴f(x)＝sin(2x＋)，增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

(2)∵f()＝sin(A＋)＝，

角A为△ABC的内角且a

∴A＝．

又a＝1，b＝，∴由正弦定理得＝，

也就是sinB＝＝×＝．

∵b>a，∴B＝或B＝，

当B＝时，C＝π－－＝；

当B＝时，C＝π－－＝．

题型：简答题

简答题

已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a，b，c，面积为S△ABC，且=(b2+c2-a2，-2)，=(sinA，S△ABC)，⊥．

（1）求函数f(x)=4cosxsin(x-)在区间[0，]上的值域；

（2）若a=3，且sin(B+)=，求b．

正确答案

（1）∵=(b2+c2-a2，-2)，=(sinA，S△ABC)，⊥，

∴•=（b2+c2-a2）sinA-2S△ABC=0，

又a2=b2+c2-2bccosA，即b2+c2-a2=2bccosA，且S△ABC=bcsinA，

∴2bccosAsinA-2×bcsinA=0，即2bccosAsinA-bcsinA=0，

∴cosA=，又A为三角形的内角，

∴A=，

函数f(x)=4cosxsin(x-)=4cosxsin（x-）

4cosx（sinx-cosx）=2sinxcosx-2cos2x

=sin2x-cos2x-1=2sin（2x-）-1，

∵x∈[0，]，∴2x-∈[-，]，

∴-≤sin（2x-）≤1，

∴-2≤f（x）≤1，

则f（x）的值域为[-2，1]；

（2）由sin（B+）=，得到＜B+＜π，

∴cos（B+）=-=-，

∴sinB=[（B+）-]

=sin（B+）cos-cos（B+）sin

=×+×=，

又a=3，sinA=，

∴由正弦定理=得：b==1+．

题型：简答题

简答题

已知函数f(x)=sin(x+)+cos(x-)，x∈R，求f（x）的最小正周期和在[0，]上的最小值和最大值．

正确答案

f（x）=sinxcos+cosxsin+cosxcos+sinxsin

=sinx-cosx-cosx+sinx

=（sinx-cosx）

=2sin（x-），

∵ω=1，∴T=2π；

∵x∈[0，]，∴x-∈[-，]，

∴-≤sin（x-）≤，即-≤2sin（x-）≤，

则函数在[0，]上的最大值为，最小值为-．

题型：填空题

填空题

已知tan=2，则tanα的值为______，tan（α+）的值为______．

正确答案

tanα===-

tan（α+）== -．

题型：简答题

简答题

已知：0＜α＜，0＜β＜，且sin（α+β）=2sinα，求证：α＜β．

正确答案

证明：方法一（反证法）

假设α=β（且均为锐角），由于sin（α+β）=2sinα，

∴sinαcosβ+cosαsinβ=2sinα

∴2sinαcosα=2sinα

∴cos α=1，

这与0＜α＜，相矛盾，故α≠β．

假设α＞β，∵sinαcosβ+cosαsinβ=2sin α．

∴cosαsinβ=sinα（2-cos β），即=．

由于＞α＞β＞0，易知上式左边大于1，而右边小于1，不能成立，故α≤β．

因为α≠β且α≤β，只能是α＜β．

方法二（综合法）由已知sinαcosβ+cosαsinβ=2sinα，

∵0＜α＜，0＜β＜，

∴0＜cosα＜1，0＜cosβ＜1．

∴2sinα=sinαcosβ+cosαsinβ＜sinα+sinβ，

即sinα＜sinβ，∴α＜β．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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