两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：简答题

简答题

已知tan（θ-）=3，

求（1）　　　

（2）sin2θ-2sinθcosθ+1．

正确答案

（1）∵tan（ θ-）=3，∴=3，解得 tanθ=-2．

∴==-8．

（2）sin2θ-2sinθcosθ+1===．

题型：填空题

填空题

已知tan（α+）=，tan（β-）=，则tan（α+β）=______．

正确答案

tan（α+β）=tan[（α+）+（β-）]=

==1

故答案为：1

题型：简答题

简答题

已知cos（-α）=，α∈（，π），求cos2α的值．

正确答案

解法一：∵α∈(，π)，

∴-α∈(-，-)

∵cos(-α)=，

∴sin(-α)=-（2分）

∴cos2α=cos[-2(-α)]=sin[2(-α)]（2分）

=2sin(-α)cos(-α)（2分）

=2×(-)×=-（2分）

解法二：∵cos(-α)=(sinα+cosα)=（2分）

∴sinα+cosα=∴sin2α=2sinαcosα=-＜0

∴α∈(，π)，∴cosα-sinα=-=-（2分）

∴cos2α=cos2α-sin2α=（cosα-sinα）•（cosα+sinα）（2分）

=(-)×=-（2分）

解法三：：∵α∈(，π)，

∴-α∈(-，-)

∵cos(-α)=，

∴sin(-α)=- （2分）

sinα=sin[-(-α)]=[cos(-α)-sin(-α)]=（2分）

cos2α=1-2sin2α=1-=-（2分）

题型：简答题

简答题

在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足=(2b-c，cosC)，=(a，cosA)且∥．

（1）求角A的大小；

（2）若a=4，三角形ABC的面符号为S，求S的最大值．

正确答案

（1）∵=（2b-c，cosC），=（a，cosA），且∥，

∴（2b-c）cosA-accosC=0，…2′

∴（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0，

∴2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，

在三角形ABC中，sinB＞0，

∴cosA=，故A=；…6′

（2）∵A=，a=4，

∴a2=b2+c2-2bccosA，即16=b2+c2-bc…8′

∴16=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc（当且仅当b=c时取等号），…10′

∴S=bcsinA≤×16×=4，…12′

题型：简答题

简答题

已知向量=(-1，sin)与向量=(，2cos)垂直，其中α为第二象限角．

（1）求tanα的值；

（2）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，若b2+c2-a2=bc，求tan（α+A）的值．

正确答案

（1）∵=(-1，sin)，=(，2cos)，⊥

∴•=-+2sincos=0，即sinα=．（3分）

∵α为第二象限角，

∴cosα=-=-，tanα==-．（6分）

（2）在△ABC中，∵b2+c2-a2=bc，∴cosA==．（9分）

∵A∈（0，π），∴A=，tanA=1，（11分）

∴tan(α+A)==-．（14分）

题型：填空题

填空题

已知：a=sin85°-cos85°，b=2（sin47°sin66°-sin24°sin43°），则a，b的大小关系为______．

正确答案

∵a=sin85°-cos85°=2(sin85°-cos85°)

=2sin（85°-60°）=2sin25°

b=2（sin47°sin66°-sin24°sin43°）=2sin66°cos43°-sin43°cos66°

=2sin（66°-47°）=2sin19°

∵y=sinx在（0，π）单调递增且25°＞19°

∴sin25°＞sin19°

∴a＞b

故答案为：a＞b

题型：简答题

简答题

已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b．求证：

（1）当b≠时，tg3A=．

（2）（1+2cos2A）2=a2+b2．

正确答案

证明：（1）sinA+sin3A+sin5A=sinA+sin5A+sin3A

=2sincos+sin3A

=2sin3A•cos2A+sin3A=sin3A（1+2cos2A），

∴sin3A（1+2cos2A）=a ①

同理有cos3A（1+2cos2A）=b ②

两式相除，即得tan3A=

（2）∵根据（1）sin3A（1+2cos2A）=a，①

cos3A（1+2cos2A）=b，②

∴①2+②2

sin23A（1+2cos2A）2+cos23A（1+2cos2A）2=a2+b2，

∴（1+2cos2A）2（sin23A+cos23A）=a2+b2，

∴（1+2cos2A）2=a2+b2．

题型：简答题

简答题

在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足4a2cosB-2accosB=a2+b2-c2．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）设=(sin2A，-cosC)，=(-，1)，•的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）∵4a2cosB-2accosB=a2+b2-c2 ，

∴4a2cosB-2ac =a2+b2-c2 ．∴cosB=．

再由B∈（0，），可得 B=．

（Ⅱ）∵=(sin2A，-cosC)，=(-，1)，

∴•=-sinA-2cos2C=-sinA-2cos（-2A）=cos2A-sin2A=cos（2A+）．

由（Ⅰ）可得A+C=，股 C=-A．

∵△ABC是锐角三角形，∴0＜-A＜，∴＜A＜，故 2A+∈（，），

∴-1≤cos（2A+）＜-，∴•∈[-1，-），

即 •的取值范围为[-1，-）．

题型：填空题

填空题

已知sinα，cosα是关于x的二次方程4x2+2mx+m=0的两个根，则m的值为______．

正确答案

∵sinα，cosα是关于x的二次方程4x2+2mx+m=0的两个根，

∴△=b2-4ac=4m2-16m≥0，即m≥4或m≤0，sinα+cosα=-，sinαcosα=，

∵（sinα+cosα）2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2sinαcosα，

∴=1+，即m2-2m=4，即（m-1）2=5，

解得：m-1=±，

∴m1=1+（舍去），m2=1-，

则m的值为1-．

故答案为：1-

题型：填空题

填空题

锐角α满足sin(α-45°)=，则sinα=______．

正确答案

sin(α-45°)=，可得sinα-cosα=，即sinα-cosα=…①，

因为sin2α+cos2α-2sinαcosα=，所以sin2α+cos2α+2sinαcosα=，

∵锐角α，所以sinα+cosα=…②，

解①②得sinα=．

故答案为：．

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