两角和与差的正弦、余弦和正切公式_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数

（Ⅰ）当时，求函数f（x）的值域；

（Ⅱ）A是△ABC的内角，，求A角的大小．

正确答案

解：f（x）=2sinxcosx+sin2x-cos2x…（2分）

=sin2x-cos2x

=2sin（2x-）…（4分）

（1）∵x∈[0，]，2x-∈[-，]…（5分）

∴-≤sin（2x-）≤1…（7分）

x∈[0，]时，函数f（x）的值域为[-，1]…（8分）

（2）∵A∈（0，π），

∴2A-∈（-，）…（10分）

∵2sin（2A-）=，

∴2A-=或…（12分）

∴A=或…（14分）

解析

解：f（x）=2sinxcosx+sin2x-cos2x…（2分）

=sin2x-cos2x

=2sin（2x-）…（4分）

（1）∵x∈[0，]，2x-∈[-，]…（5分）

∴-≤sin（2x-）≤1…（7分）

x∈[0，]时，函数f（x）的值域为[-，1]…（8分）

（2）∵A∈（0，π），

∴2A-∈（-，）…（10分）

∵2sin（2A-）=，

∴2A-=或…（12分）

∴A=或…（14分）

1

题型：简答题

|

简答题

已知3sin2+cos2=2（cosAcosB≠0），求tanAtanB的值．

正确答案

解：∵3sin2+cos2=2，∴3•+=2，

化简可得3cos（A+B）=cos（A-B），即 3cosAcosB-3sinAsinB=cosAcosB+sinAsinB，

即 2cosAcosB=4sinAsinB，求得tanAtanB=．

解析

解：∵3sin2+cos2=2，∴3•+=2，

化简可得3cos（A+B）=cos（A-B），即 3cosAcosB-3sinAsinB=cosAcosB+sinAsinB，

即 2cosAcosB=4sinAsinB，求得tanAtanB=．

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数

（ I）当，求f（x）的值域；

（II）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．

正确答案

解：（ I）∵=sin2x--=sin（2x-）-1，，

∴2x-∈（-，），∴-＜sin（2x-）≤1，∴-＜f（x）≤0，即函数f（x）的值域为（-，0]．

（II）△ABC中，∵f（C）=sin（2C-）-1=0，∴sin（2C-）=1，∴2C-=，∴C=．

∵，=（1，sinA）与向量 =（2，sinB），∴sinB-2sinA=0，由正弦定理可得 b=2a．

又 cosC==，解得a=1，b=2．

解析

解：（ I）∵=sin2x--=sin（2x-）-1，，

∴2x-∈（-，），∴-＜sin（2x-）≤1，∴-＜f（x）≤0，即函数f（x）的值域为（-，0]．

（II）△ABC中，∵f（C）=sin（2C-）-1=0，∴sin（2C-）=1，∴2C-=，∴C=．

∵，=（1，sinA）与向量 =（2，sinB），∴sinB-2sinA=0，由正弦定理可得 b=2a．

又 cosC==，解得a=1，b=2．

1

题型：简答题

|

简答题

（2015秋•天津校级月考）已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）-sin（2x+π）．

（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；

（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．

正确答案

解：（1）∵函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）-sin（2x+π）

=sin（2x+）+sin2x

=sin2x+cos2x

=2sin（2x+），…（3分）

∴f（x）的最小正周期为T==π；…（4分）

令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，

则+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

∴f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z；…（6分）

（2）由已知得g（x）=f（x-）=2sin[2（x-）+]=2sin（2x-），…（8分）

∵x∈[0，]，∴2x-[-，]，…（10分）

∴当2x-=-，即x=0时，g（x）min=g（0）=-1；

当2x-=，即x=时，g（x）max=g（）=2；

∴函数g（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为-1…（12分）

解析

解：（1）∵函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）-sin（2x+π）

=sin（2x+）+sin2x

=sin2x+cos2x

=2sin（2x+），…（3分）

∴f（x）的最小正周期为T==π；…（4分）

令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，

则+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

∴f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z；…（6分）

（2）由已知得g（x）=f（x-）=2sin[2（x-）+]=2sin（2x-），…（8分）

∵x∈[0，]，∴2x-[-，]，…（10分）

∴当2x-=-，即x=0时，g（x）min=g（0）=-1；

当2x-=，即x=时，g（x）max=g（）=2；

∴函数g（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为-1…（12分）

1

题型：填空题

|

填空题

函数的最小正周期为______．

正确答案

解析

解：∵=（sinxcosx）2==cos4x-

∴三角函数的最小正周期为

故答案为：

1

题型：单选题

|

单选题

已知函数f（x）=（sinx+cosx）cosx，则下列说法正确的为（　　）

A函数f（x）的最小正周期为2π

Bf（x）的最大值为

Cf（x）的图象关于直线x=-对称

D将f（x）的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象

正确答案

D

解析

解：∵f（x）=（sinx+cosx）cosx

=sin2x+cos2x+

=sin（2x+）+

∴函数f（x）的最小正周期T=，A错误；

f（x）的最大值为：，B错误；

由2x+=kπ，解得f（x）的图象的对称轴为：x=，k∈Z，故C错误；

将f（x）的图象向右平移，得到g（x）=sin2x+图象，再向下平移个单位长度后会得到h（x）=sin2x的图象，而h（x）是奇函数．故正确．

故选：D．

1

题型：单选题

|

单选题

若函数f（x）=-cos2x+（x∈R），则f（x）是（　　）

A最小正周期为的奇函数

B最小正周期为π的奇函数

C最小正周期为的偶函数

D最小正周期为π的偶函数

正确答案

D

解析

解：函数f（x）=-cos2x+=-+=-cos2x，

∵ω=2，∴T==π，

又cos2x为偶函数，

则函数为最小正周期为π的偶函数．

故选D

1

题型：简答题

|

简答题

已知f（x）=2sin2ωx+2sinωxsin（-ωx）（ω＞0）最小正周期为π

（1）求函数f（x）的单调递增区间及对称中心坐标；

（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．

正确答案

解：（1）f（x）=2sin2ωx+2sinωxsin（-ωx）=1-cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx-）+1，

∵T==π，∴ω=1，∴f（x）=2sin（2x-）+1．

令 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，

故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．

令2x-=kπ，k∈z，解得 x=+，k∈z，故函数的对称中心为（ +，0），k∈z．

（2）∵0≤x≤，∴-≤2x-≤，∴-≤sin（2x- ）≤1，∴0≤f（x）≤3，

故函数f（x）在区间[0，]上的取值范围是[0，3]．

解析

解：（1）f（x）=2sin2ωx+2sinωxsin（-ωx）=1-cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx-）+1，

∵T==π，∴ω=1，∴f（x）=2sin（2x-）+1．

令 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，

故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．

令2x-=kπ，k∈z，解得 x=+，k∈z，故函数的对称中心为（ +，0），k∈z．

（2）∵0≤x≤，∴-≤2x-≤，∴-≤sin（2x- ）≤1，∴0≤f（x）≤3，

故函数f（x）在区间[0，]上的取值范围是[0，3]．

1

题型：填空题

|

填空题

已知3sin2α+2sin2β=1，3（sinα+cosα）2-2（sinβ+cosβ）2=1，则cos2（α+β）=______．

正确答案

解析

解：∵3sin2α+2sin2β=1，

∴3cos2α+2cos2β=3，①

又3sin2α+2sin2β=1，

∵3（sinα+cosα）2-2（sinβ+cosβ）2=1，

∴3（1+sin2α）-2（1+sin2β）=1，

∴3sin2α-2sin2β=0，②

①2+②2：13-12（cos2αcos2β-sin2αsin2β）=9

∴cos 2（α+β）=．

故答案为：．

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数．

（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）求f（x）在上的最值及相应的x值．

正确答案

解：（Ⅰ）=

==

由得

所以f（x）的单调递增区间是[，]，（k∈Z）

（Ⅱ）由得，所以，因此，函数的最大值是2，此时；函数的最小值是-，此时x=0．

解析

解：（Ⅰ）=

==

由得

所以f（x）的单调递增区间是[，]，（k∈Z）

（Ⅱ）由得，所以，因此，函数的最大值是2，此时；函数的最小值是-，此时x=0．

热门试卷

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析