两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：填空题

填空题

若角α满足条件：sin2α＜0，cosα＜0，则α是第______象限角．

正确答案

二

解析

解：∵sin2α＜0．

∴sinαcosα＜0，

∴α在第二、四象限．

又∵cosα＜0，

∴α在第二象限．

故答案为：二

题型：简答题

简答题

设△ABC三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且4sincos（-）=

（1）求内角C

（2）若c=，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．

正确答案

解：（1）4sincos（-）=即为

sin+sin（C-）=，即sin（C-）=0，

由于C为三角形的内角，则C=；

（2）△ABC的面积为，即有absin=，

即有ab=2，

由余弦定理可得，c2=a2+b2-2abcos=a2+b2-2=3，

即a2+b2=5，

解得a=1，b=2或a=2，b=1．

由正弦定理=2R，

可得sinA+sinB===．

解析

解：（1）4sincos（-）=即为

sin+sin（C-）=，即sin（C-）=0，

由于C为三角形的内角，则C=；

（2）△ABC的面积为，即有absin=，

即有ab=2，

由余弦定理可得，c2=a2+b2-2abcos=a2+b2-2=3，

即a2+b2=5，

解得a=1，b=2或a=2，b=1．

由正弦定理=2R，

可得sinA+sinB===．

题型：简答题

简答题

已知，求与sin2α的值．

正确答案

解：由，得．（2分）

因为sinα＞0，且sinα≠1，所以α是第一或第二象限角．（4分）

由sin2α+cos2α=1，得．（5分）

当α为第一象限角时，，（6分）

所以，（7分）；（9分）

当α为第二象限角时，，（10分）

所以，（11分）

．（13分）

解析

解：由，得．（2分）

因为sinα＞0，且sinα≠1，所以α是第一或第二象限角．（4分）

由sin2α+cos2α=1，得．（5分）

当α为第一象限角时，，（6分）

所以，（7分）；（9分）

当α为第二象限角时，，（10分）

所以，（11分）

．（13分）

题型：填空题

填空题

若cos（α+β）cosα+sinαsin（α+β）=，β∈（-π，0），则sin2β=______．

正确答案

解析

解：∵cos（α+β）cosα+sinαsin（α+β）=cos[（α+β）-α]=cosβ=

∵β∈（-π，0）∴=

sin2β=2sinβcosβ=

故答案为：

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=2sinxcox-1．

（1）求f（）的值及f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）的最大值和最小值．

正确答案

解：（1）∵函数f（x）=2sinxcox-1=sin2x-1，

∴f（）=sin-1=1-1=0，f（x）的最小正周期为 =π．

（2）∵f（x）=sin2x-1，故函数的最大值为2-1=1，最小值为-2-1=-3．

解析

解：（1）∵函数f（x）=2sinxcox-1=sin2x-1，

∴f（）=sin-1=1-1=0，f（x）的最小正周期为 =π．

（2）∵f（x）=sin2x-1，故函数的最大值为2-1=1，最小值为-2-1=-3．

题型：简答题

简答题

（2015秋•北京校级期末）已知函数f（x）=sin2x+cos2x．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间；

（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）-k在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）由，

可得f（x）的最小正周期为=π．

（Ⅱ）由，求得，

所以函数f（x）的递减区间为．

（Ⅲ）由，得，

而函数f（x）在上单调递增，；在上单调递减，，

所以若函数g（x）=f（x）-k在上有两个不同的零点，则．

解析

解：（Ⅰ）由，

可得f（x）的最小正周期为=π．

（Ⅱ）由，求得，

所以函数f（x）的递减区间为．

（Ⅲ）由，得，

而函数f（x）在上单调递增，；在上单调递减，，

所以若函数g（x）=f（x）-k在上有两个不同的零点，则．

题型：简答题

简答题

2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较大的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，求角θ的正切值．

正确答案

解：如图，由已知得：∠ABF=θ，，AB=1，EF=，

∴AF=AB•sinθ=sinθ，BF=AB•cosθ=cosθ，（6分）

∵S△ABF=（S正方形ABCD-S正方形EFGH）=（1-）=，

且S△ABF=AF•BF=sinθcosθ，

∴sinθcosθ=，

∴，

化简得：12tan2θ-25tanθ+12=0，

解得：（θ为较大的锐角，不合题意，舍去）（10分）

∴．（12分）

解析

解：如图，由已知得：∠ABF=θ，，AB=1，EF=，

∴AF=AB•sinθ=sinθ，BF=AB•cosθ=cosθ，（6分）

∵S△ABF=（S正方形ABCD-S正方形EFGH）=（1-）=，

且S△ABF=AF•BF=sinθcosθ，

∴sinθcosθ=，

∴，

化简得：12tan2θ-25tanθ+12=0，

解得：（θ为较大的锐角，不合题意，舍去）（10分）

∴．（12分）

题型：单选题

单选题

已知sin2α=，则sin2（α+）=（　　）

正确答案

解析

解：∵sin2α=，则sin2（α+）===，

故选：D．

题型：单选题

单选题

若cosα+sinα=-，则sin2α=（　　）

A-

C-

正确答案

解析

解：由cosα+sinα=-，两边平方可得：sin2α+cos2α+2sinαcosα=，

即1+sin2α=，

则sin2α=．

故选：C．

题型：简答题

简答题

设向量=（sinx，cos2x），=（sin2x，cosx）．

（1）设，当时，求f（x）的取值范围；

（2）构建两个集合A={sinx，cos2x}，B={sin2x，cosx}，若集合A=B，求满足条件的x的值．

正确答案

解：（1）∵=（sinx，cos2x），=（sin2x，cosx）．

∴=sinxsin2x+cos2xcosx=cos（2x-x）=cosx，

∴=cosx+sinx=sin（x+）

∵，∴x+∈（，），

∴sin（x+）∈（，1]，

∴f（x）的取值范围为（1，]；

（2）∵集合A={sinx，cos2x}，B={sin2x，cosx}且集合A=B，

∴或，

当时，可得x=2kπ，k∈Z；

当时，x∈∅，

综上，满足条件的实数x=2kπ，k∈Z

解析

解：（1）∵=（sinx，cos2x），=（sin2x，cosx）．

∴=sinxsin2x+cos2xcosx=cos（2x-x）=cosx，

∴=cosx+sinx=sin（x+）

∵，∴x+∈（，），

∴sin（x+）∈（，1]，

∴f（x）的取值范围为（1，]；

（2）∵集合A={sinx，cos2x}，B={sin2x，cosx}且集合A=B，

∴或，

当时，可得x=2kπ，k∈Z；

当时，x∈∅，

综上，满足条件的实数x=2kπ，k∈Z

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