- 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
- 共11991题
若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC为______（填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．）
正确答案
钝角三角形
解析
解：由正弦定理可得，△ABC的三边之比 a：b：c=5：11：13，设a=5k，则 b=11k，c=13k，
由余弦定理可得 cosC=
故答案为：钝角三角形．
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边，若a=2bcosC，则此三角形一定是（ ）
正确答案
解析
解：过A作AD⊥BC，交BC于点D，
在直角三角形ACD中，cosC=
而a=2bcosC得bcosC=
AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°，
BD=CD得到三角形ABD≌三角形ACD，
所以b=c，三角形ABC为等腰三角形．
故选C
在△ABC中，已知sinA=2sinBcosc，则△ABC的形状为______．
正确答案
等腰三角形
解析
解：因为sinA=2sinBcosc，所以sin（B+C）=2sinBcosC，
所以sinBcosC-sinCcosB=0，即sin（B-C）=0，
因为A，B，C是三角形内角，所以B=C．
三角形的等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
在△ABC中，已知c=2acosB，则△ABC为（ ）
正确答案
解析
解：由正弦定理可得 sin（A+B）=2sinAcosB，由两角和的正弦公式可得 sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，
∴sin（A-B）=0，又-π＜A-B＜π，∴A-B=0，故△ABC的形状为等腰三角形，
故选C．
在△ABC中，若
正确答案
解析
解：△ABC中，若
解得sinA=
当A=
当A=
故选B．
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，cos2
正确答案
直角三角形
解析
解：△ABC中，cos2
∴
∴cosA=
又cosA=
∴
∴b2+c2-a2=2b2，
∴c2=a2+b2，
∴C=90°；
△ABC为直角三角形．
故答案为：直角三角形．
△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB=0，则△ABC中一定是（ ）
正确答案
解析
解：∵cos（2B+C）+2sinAsinB=0，即 cos（B+B+C）+2sinAsinB=0．
∴cosBcos（B+C）-sinBsin（B+C）+2sinAsinB=0，
即 cosBcos（π-A）-sinBsin（π-A）+2sinAsinB=0．
∴-cosBcosA-sinBsinA+2sinAsinB=0，即-cosBcosA+sinBsinA=0．
即-cos（A+B）=0，cos（A+B）=0．
∴A+B=
故选 C．
已知A、B、C是△ABC的三个内角，且lg（sinA）-lg（sinB）-lg（cosC）=lg2，试判断此三角形的形状．
正确答案
解：由题意知
由②得sin A=sin（B+C）=2sin Bcos C，
∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C，
∴sin Bcos C-cos Bsin C=0，
∴sin（B-C）=0，
∵-π＜B-C＜π，
∴B=C．
于是△ABC是等腰三角形．
解析
解：由题意知
由②得sin A=sin（B+C）=2sin Bcos C，
∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C，
∴sin Bcos C-cos Bsin C=0，
∴sin（B-C）=0，
∵-π＜B-C＜π，
∴B=C．
于是△ABC是等腰三角形．
在△ABC中，若（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）•sinC，则△ABC是（ ）
正确答案
解析
解：∵（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sinC，
∴（a2+b2）（sinAcosB-cosAsinB）=（a2-b2）（sinAcosB+cosAsinB），
可得sinAcosB（a2+b2-a2+b2）=cosAsinB（a2-b2+a2+b2）．
即2b2sinAcosB=2a2cosAsinB…（*）
根据正弦定理，得bsinA=asinB
∴化简（*）式，得bcosB=acosA
即2RsinBcosB=2RsinAcosA，（2R为△ABC外接圆的半径）
化简得sin2A=sin2B，
∴A=B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°
因此△ABC是等腰三角形或直角三角形．
故选：D
在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（ ）
正确答案
解析
解：因为A和B都为三角形中的内角，
由tanAtanB＞1，得到1-tanAtanB＜0，
且得到tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，
所以tan（A+B）=
则A+B∈（ 
所以△ABC是锐角三角形．
故答案为：锐角三角形
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