两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：简答题

简答题

已知x、y为锐角，，，求tan（x+2y）的值．

正确答案

解：∵x、y为锐角，，，∴cosy==，tany==，tan2y===，

tan（x+2y）===．

解析

解：∵x、y为锐角，，，∴cosy==，tany==，tan2y===，

tan（x+2y）===．

题型：单选题

单选题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若=，则△ABC的形状是（　　）

A等腰三角形

B直角三角形

C等腰直角三角形

D等腰或直角三角形

正确答案

解析

解：由正弦定理，得：

a=2RsinA，b=2RsinB，代入=，得：

，即tanA=tanC．

又∵0＜A＜π，0＜B＜π，

∴A=C．

则△ABC是等腰三角形．

故选：A．

题型：填空题

填空题

在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，b2=ac，则△ABC的形状是______．

正确答案

等边三角形

解析

解：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C，因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π，∴B=．

由a，b，c成等比数列，有b2=ac（4）

根据b2=ac代入余弦定理求得a2+c2-ac=ac，即（a-c）2=0，因此a=c，从而A=C，所以△ABC为等边三角形．

故答案为等边三角形

题型：单选题

单选题

已知△ABC的三个内角为A、B、C满足sin2（A+C）＞sin2A+sin2C，则△ABC的形状是（　　）

A锐角三角形

B直角三角形

C钝角三角形

D不能确定

正确答案

解析

解：△ABC的三个内角为A、B、C满足sin2（A+C）=sin2B＞sin2A+sin2C，

∴由正弦定理得：b2＞a2+c2，

∴cosB=＜0，B∈（0，π），

∴B为钝角，

∴△ABC的形状是钝角三角形，

故选：C．

题型：填空题

填空题

在△ABC中，给出下列四个命题：

①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；

②若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形；

③若cosA•cosB•cosC＜0，则△ABC是钝角三角形；

④若cos（A-B）•cos（B-C）•cos（C-A）=1，则△ABC是等边三角形．

以上命题正确的是______（填命题序号）．

正确答案

③④

解析

解：①若sin2A=sin2B，则 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B 或C=，故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①不正确．

②若sinA=cosB，例如∠A=100°和∠B=10°，满足sinA=cosB，则△ABC不是直角三角形，故②不正确．

③若cosA•cosB•cosC＜0，则由三角形各个内角的范围及内角和等于180° 知，cosA、cosB、cosC两个是正实数，

一个是负数，故A、B、C中两个是锐角，一个是钝角，故③正确．

④若cos（A-B）•cos（B-C）•cos（C-A）=1，则由三角形各个内角的范围及内角和等于180° 知，

cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，故有 A=B=C，故△ABC是等边三角形，故④正确．

故答案为 ③④．

题型：单选题

单选题

已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若cosC＞，则△ABC的形状是（　　）

A锐角三角形

B直角三角形

C等腰三角形

D钝角三角形

正确答案

解析

解：△ABC中，∵cosC＞，

∴由正弦定理得：cosC＞，又sinA＞0，

∴sinAcosC＞sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

∴cosAsinC＜0，又sinC＞0，

∴cosA＜0，A为钝角，

故选：D．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），且满足|+|=．

（1）求角A的大小；

（2）若b+c=a，试判断△ABC的形状．

正确答案

解：（1）∵，∴=2+2cosA=3，∴，∴

（2）∵，∴，∴，∴2b2-5bc+2c2=0，∴

当b=2c时，a2+c2=3c2+c2=4c2=b2，△ABC是以∠C为直角的直角三角形

当b=时，a2+b2=c2，△ABC是以∠B为直角的直角三角形

终上所述：△ABC是直角三角形

解析

解：（1）∵，∴=2+2cosA=3，∴，∴

（2）∵，∴，∴，∴2b2-5bc+2c2=0，∴

当b=2c时，a2+c2=3c2+c2=4c2=b2，△ABC是以∠C为直角的直角三角形

当b=时，a2+b2=c2，△ABC是以∠B为直角的直角三角形

终上所述：△ABC是直角三角形

题型：简答题

简答题

已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列，判断△ABC的形状．

正确答案

解：∵A，B，C成等差数列，又A+B+C=π，

∴B=，A+C=，

∵a，b，c也称等差数列，

∴2b=a+c，

在三角形ABC中，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB=，

即sinA+sin（-A）=，

∴sinA+cosA=，即sin（A+）=1，

∵0＜A＜，∴＜A+＜，

∴A+=，∴A=，C=，

∴△ABC为等边三角形．

解析

解：∵A，B，C成等差数列，又A+B+C=π，

∴B=，A+C=，

∵a，b，c也称等差数列，

∴2b=a+c，

在三角形ABC中，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB=，

即sinA+sin（-A）=，

∴sinA+cosA=，即sin（A+）=1，

∵0＜A＜，∴＜A+＜，

∴A+=，∴A=，C=，

∴△ABC为等边三角形．

题型：单选题

单选题

在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（　　）

Ab=7，c=3，C=30°

Bb=5，c=4，B=45°

Ca=6，b=6，B=60°

Da=20，b=30，A=30°

正确答案

解析

解：对于A，由正弦定理可得=＞1，此时三角形无解，不合题意；

对于B，由正弦定理可得=，∵c＞b，B=45°，此时C有两解，不符合题意；

对于C，由正弦定理可得=，∵b＞a，B=60°，此时A=30°，符合题意；

对于D，由正弦定理可得=，∵b＞a，A=30°，此时B有两解，不符合题意，

故选C．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C所列边分别为a，b，c，且．

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若，试判断bc取得最大值时△ABC形状．

正确答案

解：（Ⅰ）∵，∴，…（2分）

即，∴，∴，…（4分）

∵0＜A＜π，∴．…（6分）

（Ⅱ）在△ABC中，a2=b2+c2-2bccosA，且，

∴，∵b2+c2≥2bc，∴3≥2bc-bc，

即bc≤3，当且仅当时，bc取得最大值，…（9分），

又，故bc取得最大值时，△ABC为等边三角形 …（12分）

解析

解：（Ⅰ）∵，∴，…（2分）

即，∴，∴，…（4分）

∵0＜A＜π，∴．…（6分）

（Ⅱ）在△ABC中，a2=b2+c2-2bccosA，且，

∴，∵b2+c2≥2bc，∴3≥2bc-bc，

即bc≤3，当且仅当时，bc取得最大值，…（9分），

又，故bc取得最大值时，△ABC为等边三角形 …（12分）

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