两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：简答题

简答题

已知函数，，动直线x=t分别与函数y=f（x）、y=g（x）的图象分别交于点A（t，f（t））、B（t，g（t）），在点A处作函数y=f（x）的图象的切线，记为直线l1，在点B处作函数y=g（x）的图象的切线，记为直线l2．

（Ⅰ）证明：不论t取何实数值，直线l1与l2恒相交；

（Ⅱ）若直线l1与l2相交于点P，试求点P到直线AB的距离；

（Ⅲ）当t＜0时，试讨论△PAB何时为锐角三角形？直角三角形？钝角三角形？

正确答案

解：（Ⅰ），，

∴直线l1的斜率，直线l2的斜率，

令k1=k2，得，此方程没有实数解，∴不论t取何实数值，直线l1与l2恒相交．

（Ⅱ）直线l1的方程为：y=f（t）+g（t）（x-t），…①

直线l2的方程为：y=g（t）+f（t）（x-t），…②

由①、②得：（g（t）-f（t））（x-t-1）=0．

∵，∴x-t=1，又∵直线AB方程为x=t，直线AB垂直x轴，∴点P到直线AB的距离为1．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可求得P（t+1，2et），

①∵，，

∴，

∵t＜0，e2t＜1，∴，

又∵，

∴cos∠B＞0，∠B恒为锐角．

②∵，，

∴，

∴不论t取何值，∠A恒为锐角．

③∵，，∴．

令，得（e2t）2+e2t-1＞0，，

，．

又∵，∴cos∠P＞0，∠P为锐角．

令，得，，

此时，cos∠P=0，∠P为直角；

令，得（e2t）2+e2t-1＜0，，

，，此时，cos∠P＜0，∠P为钝角．

综合①②③得：当时，△PAB为钝角三角形；

当时，△PAB为直角三角形；

当时，△PAB为锐角三角形．

解析

解：（Ⅰ），，

∴直线l1的斜率，直线l2的斜率，

令k1=k2，得，此方程没有实数解，∴不论t取何实数值，直线l1与l2恒相交．

（Ⅱ）直线l1的方程为：y=f（t）+g（t）（x-t），…①

直线l2的方程为：y=g（t）+f（t）（x-t），…②

由①、②得：（g（t）-f（t））（x-t-1）=0．

∵，∴x-t=1，又∵直线AB方程为x=t，直线AB垂直x轴，∴点P到直线AB的距离为1．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可求得P（t+1，2et），

①∵，，

∴，

∵t＜0，e2t＜1，∴，

又∵，

∴cos∠B＞0，∠B恒为锐角．

②∵，，

∴，

∴不论t取何值，∠A恒为锐角．

③∵，，∴．

令，得（e2t）2+e2t-1＞0，，

，．

又∵，∴cos∠P＞0，∠P为锐角．

令，得，，

此时，cos∠P=0，∠P为直角；

令，得（e2t）2+e2t-1＜0，，

，，此时，cos∠P＜0，∠P为钝角．

综合①②③得：当时，△PAB为钝角三角形；

当时，△PAB为直角三角形；

当时，△PAB为锐角三角形．

题型：单选题

单选题

在△ABC中，sin2A+sin2B+sin2C=2sinAsinBsinC，则△ABC的形状是（　　）

A直角三角形

B等腰直角三角形

C钝角三角形

D正三角形

正确答案

解析

解：∵sin2A+sin2B+sin2C=2sinAsinBsinC，

由正弦定理可得：，

由余弦定理可得：a2+b2-c2=2abcosC，

∴sin2C+cos2C=+=1，

化为（a2-b2）2+（b2-c2）2+（a2-c2）2=0，

∴a=b=c．

∴△ABC是正三角形．

故选：D．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，则△ABC的形状是什么？

正确答案

解：△ABC的形状是直角三角形，理由如下：

在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，且==，

则sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，

∴sin2A+sin2B=sin2C，

∴2sin（A+B）cos（A-B）=2sinCcosC，又sin（A+B）=sinC，

∴cos（A-B）=cosC，

∴A-B=C或B-A=C，即A=B+C，或B=A+C．

再根据A+B+C=π，可得A=或B=，

则△ABC的形状是直角三角形．

解析

解：△ABC的形状是直角三角形，理由如下：

在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，且==，

则sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，

∴sin2A+sin2B=sin2C，

∴2sin（A+B）cos（A-B）=2sinCcosC，又sin（A+B）=sinC，

∴cos（A-B）=cosC，

∴A-B=C或B-A=C，即A=B+C，或B=A+C．

再根据A+B+C=π，可得A=或B=，

则△ABC的形状是直角三角形．

题型：填空题

填空题

△ABC中，已知tanA=，tanB=，则∠C等于______．

正确答案

解析

解：△ABC中，已知tanA=，tanB=，

∴tan（A+B）===1，

∴A+B=，∴C=，

故答案为：．

题型：填空题

填空题

在△ABC中，若三边a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则△ABC的形状是______三角形．（填写“等腰”、“等边”、“直角”或“等腰直角”之一）

正确答案

等边

解析

解：∵三边a，b，c成等差数列，∴a+c=2b①，

又sinA，sinB，sinC成等比数列，

∴sin2B=sinA•sinC，

根据正弦定理化简得：b2=ac②，

由①得：b=，代入②得：

=ac，即（a-c）2=0，

∴a=c，故b=a=c，

则三角形为等边三角形．

故答案为：等边

题型：填空题

填空题

在△ABC中，已知sinA•cosA=0，那么这个三角形是______．

正确答案

直角三角形

解析

解：因为在三角形ABC中，0＜sinA≤1，

所以只有cosA=0，从而A=90°．

故这个三角形是直角三角形．

故答案为：直角三角形．

题型：单选题

单选题

（2015秋•衡水校级期末）在△ABC中，已知lgsinA-lgcosB-lgsinC=lg2，则三角形一定是（　　）

A等腰三角形

B等边三角形

C直角三角形

D钝角三角形

正确答案

解析

解：由lgsinA-lgcosB-lgsinC=lg2可得

∴sinA=2cosBsinC

即sin（B+C）=2sinCcosB

展开可得，sinBcosC+sinCcosB=2sinCcosB

∴sinBcosC-sinCcosB=0

∴sin（B-C）=0

∴B=C

∴△ABC为等腰三角形

故选：A

题型：单选题

单选题

在△ABC中，若，则△ABC是（　　）

A等腰三角形

B等腰直角三角形

C直角三角形

D等边三角形

正确答案

解析

解：把正弦定理代入已知的等式可得 sinB+sinC=sin A（cosB+cos C），

∴2sincos =2sincos（2coscos ）．由于cos≠0，

∴sin=sincos•2cos，∴2=1，

∴cos=，∴=，B+C=，∴A=．

故选：C．

题型：单选题

单选题

已知，则的值为（　　）

正确答案

解析

解：由题意可得=tan[（α+β）-（α-）]===1，

故选B．

题型：单选题

单选题

在△ABC中，若cosA•cosB•cosC＞0，则这个三角形是（　　）

A直角三角形

B锐角三角形

C钝角三角形

D直角或锐角三角形

正确答案

解析

解：由题意，∵cosA•cosB•cosC＞0

∴cosA，cosB，cosC 三者中，同为正，或两负一正

由于A，B，C为三角形中的角

∴cosA，cosB，cosC 三者中，同为正

∴A，B，C为锐角

故选B．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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