两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：简答题

简答题

已知x∈（0，π），且，求：

（1）sinx-cosx的值；

（2）sin2x+cos2x的值．

正确答案

解：（1）∵sinx+cosx=，

∴（sinx+cosx）2=，

即1+2sinxcosx=，

∴2sinxcosx=-，

∴（sinx-cosx）2=1-2sinxcosx=1+=，

又x∈（0，π），

∴sinx＞0，cosx＜0，

∴sinx-cosx＞0，

sinx-cosx=；

（2）∵sinx+cosx=，sinx-cosx=；

∴sinx=，cosx=，

∴cos2x=cos2x-sin2x=-=-，

∴sin2x+cos2x=--=-．

解析

解：（1）∵sinx+cosx=，

∴（sinx+cosx）2=，

即1+2sinxcosx=，

∴2sinxcosx=-，

∴（sinx-cosx）2=1-2sinxcosx=1+=，

又x∈（0，π），

∴sinx＞0，cosx＜0，

∴sinx-cosx＞0，

sinx-cosx=；

（2）∵sinx+cosx=，sinx-cosx=；

∴sinx=，cosx=，

∴cos2x=cos2x-sin2x=-=-，

∴sin2x+cos2x=--=-．

题型：单选题

单选题

在△ABC中，若a=bcosC，则△ABC是（　　）

A锐角三角形

B钝角三角形

C直角三角形

D等腰三角形

正确答案

解析

解：由余弦定理得cosC=，

把cosC代入a=bcosC得：a=b•=，

∴2a2=a2+b2-c2，

∴a2+c2=b2，

即三角形为直角三角形．

故选C．

题型：简答题

简答题

已知向量，（0＜α＜β＜π），与的夹角为，

（1）求β-α的值；

（2）若，求tan2α的值．

正确答案

解：（1）由与的夹角为，得，

即…（2分）∴…（4分）

又0＜α＜β＜π，∴0＜β-α＜π，∴．…（6分）

（2）由，得，∴cosα（sinα+2sinβ）+sinα（cosα+2cosβ）=0…（8分）

即sin2α+2sin（α+β）=0，∵，∴，

∴，…（12分）

∴．…（14分）

解析

解：（1）由与的夹角为，得，

即…（2分）∴…（4分）

又0＜α＜β＜π，∴0＜β-α＜π，∴．…（6分）

（2）由，得，∴cosα（sinα+2sinβ）+sinα（cosα+2cosβ）=0…（8分）

即sin2α+2sin（α+β）=0，∵，∴，

∴，…（12分）

∴．…（14分）

题型：单选题

单选题

计算1-2sin222.5°的结果等于（　　）

正确答案

解析

解：由二倍角公式可得1-2sin222.5°=cos（2×22.5°）=cos45°=，

故选 B．

题型：单选题

单选题

已知△ABC的外接圆的圆心为O，若，则△ABC是（　　）

A钝角三角形

B锐角三角形

C直角三角形

D下能确定

正确答案

解析

解：由可得点O为边BC的中点，

由点O为△ABC的外接圆的圆心，即BC为圆的直径，

故∠BAC为直径所对的圆周角，所以∠BAC=90°，

故△ABC是直角三角形，

故选C

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sin2x+cos2x．

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若f（+）=，求cos2a的值．

正确答案

解：（1）∵函数f（x）=sin2x+cos2x

∴．

（2）∵f（+）===，化为cosα=．

∴cos2α=2cos2α-1==．

解析

解：（1）∵函数f（x）=sin2x+cos2x

∴．

（2）∵f（+）===，化为cosα=．

∴cos2α=2cos2α-1==．

题型：填空题

填空题

若sinα+cosα=，α∈（-，），则tan2α=______．

正确答案

解析

解：∵sinα+cosα=，

∴1+2sinαcosα=，

∴sin2α=-，

∵α∈（-，），

∴cos2α==

∴tan2α=-=-．

故答案为：-．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=（sinx+cosx）2-2sin2x

（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；

（Ⅱ） A、B、C是△ABC的三内角，其对应的三边分别为a、b、c．若f（）=，=12，a=，且b＜c，求b、c的长．

正确答案

解：（Ⅰ）f （x）=sin2x+2sincosx+cos2x-2sin2x=-sin2x+cos2x+sin2x

=sin2x+cos2x=sin（2x+），

令+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），解得+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），

∴f （x）的单调递减区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）． …（6分）

（Ⅱ）f （）=sin（+）=，即sin（+）=，

∴+=或，即A=或（不符合题意，舍去）．

由=c•b•cosA=12和cosA=，得bc=24．①

∵a=，cosA==，

∴将bc=24代入，化简并解之可得b2+c2=52．

∵b2+c2+2bc=（b+c）2=100，b＞0，c＞0，

∴b+c=10，②

联解①②，解之得b=4、c=6或b=6、c=4

∵b＜c，∴b=6、c=4不合题意，舍去

可得 b、c 的长分别为4，6． …（12分）

解析

解：（Ⅰ）f （x）=sin2x+2sincosx+cos2x-2sin2x=-sin2x+cos2x+sin2x

=sin2x+cos2x=sin（2x+），

令+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），解得+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），

∴f （x）的单调递减区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）． …（6分）

（Ⅱ）f （）=sin（+）=，即sin（+）=，

∴+=或，即A=或（不符合题意，舍去）．

由=c•b•cosA=12和cosA=，得bc=24．①

∵a=，cosA==，

∴将bc=24代入，化简并解之可得b2+c2=52．

∵b2+c2+2bc=（b+c）2=100，b＞0，c＞0，

∴b+c=10，②

联解①②，解之得b=4、c=6或b=6、c=4

∵b＜c，∴b=6、c=4不合题意，舍去

可得 b、c 的长分别为4，6． …（12分）

题型：填空题

填空题

已知，则cosα=______．

正确答案

解析

解：因为，所以sin=，

cosα=1-2sin2α=1-2=．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，

（1）求的值；

（2）若a=2，，求b的值．

正确答案

解：（1）因为锐角△ABC中，A+B+C=π，，

所以cosA=，

则

（2），则bc=3．

将a=2，cosA=，c=代入余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA中得b4-6b2+9=0

解得b=

解析

解：（1）因为锐角△ABC中，A+B+C=π，，

所以cosA=，

则

（2），则bc=3．

将a=2，cosA=，c=代入余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA中得b4-6b2+9=0

解得b=

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