两角和与差的正弦、余弦和正切公式_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知函数，若f（x）的最大值为1

（1）求m的值，并求f（x）的单调递增区间；

（2）在△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，若f（B）=-1，且a=b+c，试判断三角形的形状．

正确答案

解：∵（1）函数=2sin2xcos+cos2x-m=2sin（2x+）-m．

f（x）的最大值为1，故有 2-m=1，∴m=1．

令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，

故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．

（2）在△ABC中，∵f（B）=-1，∴2sin（2B+）-1=，即 sin（2B+）=，∴B=．

又 a=b+c，∴sinA=sinB+sinC=+sin（-A），化简可得 sin（A-）=，∴A=，C=，

故△ABC为直角三角形．

解析

解：∵（1）函数=2sin2xcos+cos2x-m=2sin（2x+）-m．

f（x）的最大值为1，故有 2-m=1，∴m=1．

令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，

故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．

（2）在△ABC中，∵f（B）=-1，∴2sin（2B+）-1=，即 sin（2B+）=，∴B=．

又 a=b+c，∴sinA=sinB+sinC=+sin（-A），化简可得 sin（A-）=，∴A=，C=，

故△ABC为直角三角形．

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题型：简答题

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简答题

（2015秋•山东月考）已知，

（I）若x∈[0，2]，求的单调递增区间；

（Ⅱ）设y=f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的坐标为P，第一个最低点的坐标为Q，坐标原点为O，求∠POQ的余弦值．

正确答案

解：（I），

，解得，

∵x∈[0，2]时，或，

∴f（x）的单调递增区间为，．

（I I）由题意得P，Q．

根据距离公式，，，

根据余弦定理，

解析

解：（I），

，解得，

∵x∈[0，2]时，或，

∴f（x）的单调递增区间为，．

（I I）由题意得P，Q．

根据距离公式，，，

根据余弦定理，

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知=（cos，sin），=（cos，sin），且满足|+|=．

（1）求角A的大小；

（2）若||+||=||，试判断△ABC的形状．

正确答案

解：（1）由得

即1+1+2（coscos+sinsin）=3，

∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．

（2）∵||+||=||，

∴b+c=a，

由正弦定理可得，sinB+sinC=sinA，

∴sinB+sin（-B）=×，

即sinB+cosB=，

∴sin（B+）=．

∵0＜B＜，∴＜B+＜，

∴B+=或，故B=或．

当B=时，C=；当B=时，C=．

故△ABC是直角三角形．

解析

解：（1）由得

即1+1+2（coscos+sinsin）=3，

∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．

（2）∵||+||=||，

∴b+c=a，

由正弦定理可得，sinB+sinC=sinA，

∴sinB+sin（-B）=×，

即sinB+cosB=，

∴sin（B+）=．

∵0＜B＜，∴＜B+＜，

∴B+=或，故B=或．

当B=时，C=；当B=时，C=．

故△ABC是直角三角形．

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题型：单选题

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单选题

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若2（bccosA+accosB）=a2+b2+c2，则△ABC一定是（　　）

A锐角三角形

B直角三角形

C等腰三角形

D钝角三角形

正确答案

B

解析

解：由余弦定理得：cosA=，cosB=，

代入已知等式得：2（bccosA+accosB）=2bccosA+2accosB

=2bc•+2ac•

=b2+c2-a2+a2+c2-b2=a2+b2+c2，

整理得：a2+b2=c2，

所以c所对的角C为直角，

则△ABC一定是直角三角形．

故选B．

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题型：单选题

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单选题

△ABC中，sinA=sinB，则三角形的形状为（　　）

A直角△

B等腰△

C等边△

D锐角△

正确答案

B

解析

解：∵△ABC中，sinA=sinB，

∴由正弦定理可得，，

∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形．

故选B．

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题型：填空题

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填空题

△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件

①b=26，c=15，C=23°；　　②a=84，b=56，c=74； ③A=34°，B=56°，c=68；　④a=15，b=10，A=60°

能唯一确定△ABC的有______（写出所有正确答案的序号）．

正确答案

②③④

解析

解：①当b=26，c=15，C=23°时，由正弦定理可得 0＜sinB＜1，且sinB＞sinC，故满足条件的B可能是锐角，也可能是钝角，故满足①的三角形有两个．

②当a=84，b=56，c=74时，满足任意两边之和大于第三边，由于此三角形三边为定值，故这样的三角形只有一个．

③由A=34°，B=56°，c=68，可得C=90°，此直角三角形的三内角和斜边是确定的，故只有唯一的一个．

④当a=15，b=10，A=60°时，利用正弦定理以及大边对大角可得B是一个固定的锐角，故C就确定了，此三角形确定了

三个内角和其中的两边，故这样的三角形只有一个．

故答案为 ②③④．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，且S=（a2+b2-c2）．

（1）求角C的大小；

（2）当cosA+cosB取得最大值时，判断△ABC的形状．

正确答案

解：（1）在△ABC中，由余弦定理可得a2+b2-c2=2abcosC，

∴S=（a2+b2-c2）=×2abcosC=abcosC；

又S=absinC，

∴tanC=，C∈（0，π），

∴C=；

（2）cosA+cosB=cosA+cos（-A）=cosA+coscosA+sinsinA=cosA+sinA=sin（A+）≤1，

当A=时，cosA+cosB取得最大值1，

此时△ABC为等边三角形．

解析

解：（1）在△ABC中，由余弦定理可得a2+b2-c2=2abcosC，

∴S=（a2+b2-c2）=×2abcosC=abcosC；

又S=absinC，

∴tanC=，C∈（0，π），

∴C=；

（2）cosA+cosB=cosA+cos（-A）=cosA+coscosA+sinsinA=cosA+sinA=sin（A+）≤1，

当A=时，cosA+cosB取得最大值1，

此时△ABC为等边三角形．

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题型：单选题

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单选题

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2bcosC，则△ABC一定是（　　）

A直角三角形

B等边三角形

C等腰直角三角形

D等腰三角形

正确答案

D

解析

解：因为在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=2bcosC，

由余弦定理可知：a=2b，可得b2-c2=0，

∴b=c．

所以三角形是等腰三角形．

故选D．

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题型：单选题

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单选题

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=（b+c）cosC，则△ABC的形状是（　　）

A等腰三角形

B等边三角形

C直角三角形

D锐角三角形

正确答案

A

解析

解：根据正弦定理理===2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

∵a=（b+c）cosC，

∴sinA=（sinB+sinC）cosc，又A+B+C=π，

∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB=sinBcosC+sinCcosC，

化简得 cosB=cosC 又 B，C∈（0，π），

∴B=C，即△ABC为等腰三角形．

故选A．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=cos2（x-）-sin2（x-）-sin（x-）cosx．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）锐角三角形ABC的三内角分别为角A、B、C且f（-）=，求sinB+sinC的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）∵f（x）=cos2（x-）-sin2（x-）-sin（x-）cosx

=cos2（x-）-（sinx-cosx）cosx

=sin2x-sinxcosx+cos2x

=sin2x+cos2x+

=sin（2x+）+

∴当2kπ-≤2x+≤2k+（k∈Z）时，即kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），函数f（x）单调增，

∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）．

（2）∵f（-）=sin（A+）+=，

∴sinA=

∵三角形ABC为锐角三角形，

∴∠A=

∵0＜∠C＜，∠C=-∠B

∴＜∠B＜，

∴sinB+sinC=sinB+sin（B+）=sinB+cosB=sin（B+）

∵＜∠B＜，

∴＜B+＜，

∴＜sin（B+）≤1

∴＜sin（B+）≤

∴sinB+sinC的取值范围是（，]．

解析

解：（Ⅰ）∵f（x）=cos2（x-）-sin2（x-）-sin（x-）cosx

=cos2（x-）-（sinx-cosx）cosx

=sin2x-sinxcosx+cos2x

=sin2x+cos2x+

=sin（2x+）+

∴当2kπ-≤2x+≤2k+（k∈Z）时，即kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），函数f（x）单调增，

∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）．

（2）∵f（-）=sin（A+）+=，

∴sinA=

∵三角形ABC为锐角三角形，

∴∠A=

∵0＜∠C＜，∠C=-∠B

∴＜∠B＜，

∴sinB+sinC=sinB+sin（B+）=sinB+cosB=sin（B+）

∵＜∠B＜，

∴＜B+＜，

∴＜sin（B+）≤1

∴＜sin（B+）≤

∴sinB+sinC的取值范围是（，]．

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