两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：单选题

单选题

函数y=-cos2x的值域是（　　）

A[1，3）

B[-，3）

C[-，1]

D[-，+∞）

正确答案

解析

解：由1-sinx≠0得sinx≠1，

y=-cos2x=-cos2x=1+sinx-cos2x=2sin2x+sinx=2（sinx+）2-，

∵-1≤sinx＜1，

∴当sinx=-时，函数取得最小值-，

但sinx=1时，y=3，

即-≤y＜3，

故函数的值域为[-，3），

故选：B．

题型：简答题

简答题

已知函数．

①求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；

②若，求函数f（x）的最大值及取最大值时对应的x值．

正确答案

解：①函数=sin（2x-）+2

=sin（2x-）-cos（2x-）+1=2sin（2x-）+1，∴T==π．

由 2kπ-≤2x-≤2kπ+ 可得 kπ-≤x≤kπ+，故函数f（x）的单调递增区间为

[kπ-，kπ+]，k∈z．

②由得，，故当，即时，

f（x）max=31．

解析

解：①函数=sin（2x-）+2

=sin（2x-）-cos（2x-）+1=2sin（2x-）+1，∴T==π．

由 2kπ-≤2x-≤2kπ+ 可得 kπ-≤x≤kπ+，故函数f（x）的单调递增区间为

[kπ-，kπ+]，k∈z．

②由得，，故当，即时，

f（x）max=31．

题型：填空题

填空题

△ABC中，已知sinC+cosC+sin=1，则角C=______．

正确答案

解析

解：∵sinC+cosC+sin=1，

∴sinC=1-cosC-sin，

∴2sincos=2sin2-sin

∴sincos=sin（sin-1）

∵≠，即sin≠0

∴cos=sin-1

∴sin-cos=1，

∴2sin（-）=1，

∵0＜∠C＜π，

∴0＜＜

∴-＜-＜

∴-=，即∠C=

故答案为：

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sin（π-ωx）sin（+ωx）+cos2ωx-，ω＞0，其图象上相邻三个最值点构成的三角形的面积为π．

（1）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；

（2）设△ABC的内角A满足f（A）=1且•=，求边BC的最小值．

正确答案

解：（1）（x）=sin（π-ωx）sin（+ωx）+cos2ωx-=sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），

∵f（x）max=1，f（x）min=-1，两个最高点或最低点的距离为T，

∴×2×T=π，T=π，

即函数的最小正周期为π．

T==π，ω=1，

∴f（x）=sin（2x+），

当2kπ-≤2x+≤2kπ+时，即kπ-≤x≤kπ+，k∈Z时，函数单调增，

当2kπ+≤2x+≤2kπ+时，即kπ+≤x≤kπ+，k∈Z时，函数单调减，

∴函数的单调增区间为[kπ-，kπ+]，

单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．

（2）f（A）=sin（2A+）=1，

∴2A+=，A=，

•=||•||cosA=||•||=，

∴||•||=2，即|AB|•|AC|=2，

∴BC=≥==-1，

故BC的最小值为-1

解析

解：（1）（x）=sin（π-ωx）sin（+ωx）+cos2ωx-=sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），

∵f（x）max=1，f（x）min=-1，两个最高点或最低点的距离为T，

∴×2×T=π，T=π，

即函数的最小正周期为π．

T==π，ω=1，

∴f（x）=sin（2x+），

当2kπ-≤2x+≤2kπ+时，即kπ-≤x≤kπ+，k∈Z时，函数单调增，

当2kπ+≤2x+≤2kπ+时，即kπ+≤x≤kπ+，k∈Z时，函数单调减，

∴函数的单调增区间为[kπ-，kπ+]，

单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．

（2）f（A）=sin（2A+）=1，

∴2A+=，A=，

•=||•||cosA=||•||=，

∴||•||=2，即|AB|•|AC|=2，

∴BC=≥==-1，

故BC的最小值为-1

题型：简答题

简答题

证明：

（1）cos3α=4cos3α-3cosα

（2）若sin，cos=-，则角α的终边在第四象限．

正确答案

解：（1）要证cos3α=4cos3α-3cosα成立，

只要证cos2αcosα-sin2αsinα=4cos3α-3cosα成立，

只要证cos2α-2sin2α=4cos2α-3成立，

只要证cos2α=2cos2α-1成立，

而由余弦的二倍角公式知上式成立，

故原等式得证；

（2）∵sin＜，cos=-＜0，

∴2kπ+＜＜2kπ+π，

∴4kπ+＜α＜4kπ+2π，k∈Z，

∴角α的终边在第四象限．

解析

解：（1）要证cos3α=4cos3α-3cosα成立，

只要证cos2αcosα-sin2αsinα=4cos3α-3cosα成立，

只要证cos2α-2sin2α=4cos2α-3成立，

只要证cos2α=2cos2α-1成立，

而由余弦的二倍角公式知上式成立，

故原等式得证；

（2）∵sin＜，cos=-＜0，

∴2kπ+＜＜2kπ+π，

∴4kπ+＜α＜4kπ+2π，k∈Z，

∴角α的终边在第四象限．

题型：填空题

填空题

求函数y=（sinx+cosx）2+2cos2x的最小正周期=______．

正确答案

解析

解：y=1+sin 2x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+2

=+2

=sin（2x+）+2．

故最小正周期==π．

故答案为：π．

题型：简答题

简答题

已知向量=（sin2x，），b=（1，-cos2x），x∈R．

（1）若⊥，且0＜x＜，求x的值；

（2）求函数f（x）=•的单调增区间（结果用开区间表示）．

正确答案

解：（1）∵⊥，∴•=0，

∴sin2x-cos2x=0；

∴tan2x==；

又∵0＜x＜，

∴0＜2x＜π；

∵在（0，π）内只有的正切值为，

∴2x=，∴x=；

（2）∵f（x）=•=sin2x-cos2x=2sin（2x-），

函数y=sinx的单调增区间为（-+2kπ，+2kπ），k∈Z；

∴令-+2kπ＜x＜+2kπ，k∈Z，

解得-+kπ＜x＜+kπ，k∈Z；

∴函数f（x）的单调增区间为（-+kπ，+kπ），k∈Z．

解析

解：（1）∵⊥，∴•=0，

∴sin2x-cos2x=0；

∴tan2x==；

又∵0＜x＜，

∴0＜2x＜π；

∵在（0，π）内只有的正切值为，

∴2x=，∴x=；

（2）∵f（x）=•=sin2x-cos2x=2sin（2x-），

函数y=sinx的单调增区间为（-+2kπ，+2kπ），k∈Z；

∴令-+2kπ＜x＜+2kπ，k∈Z，

解得-+kπ＜x＜+kπ，k∈Z；

∴函数f（x）的单调增区间为（-+kπ，+kπ），k∈Z．

题型：填空题

填空题

=______．

正确答案

sin2-cos2

解析

解：==

∵sin2＞cos2

∴原式=sin2-cos2

故答案为：sin2-cos2

题型：简答题

简答题

观察等式：

sin50°+sin20°=2sin35°cos15°

sin66°+sin32°=2sin49°cos17°

猜想符合以上两式规律的一般结论，并进行证明．

正确答案

解：猜想：sinα+sinβ=2sincos，

下面证明：

左边=sin（）+sin（-）

=（sincos+cossin）+（sincos-cossin）

=2sincos

=右边，

原等式成立．

解析

解：猜想：sinα+sinβ=2sincos，

下面证明：

左边=sin（）+sin（-）

=（sincos+cossin）+（sincos-cossin）

=2sincos

=右边，

原等式成立．

题型：单选题

单选题

函数图象的一条对称轴为（　　）

正确答案

解析

解：函数=sinx-cosx=2sin（x-）．

由x-=kπ+，k∈z，可得 x=kπ+，k∈z．

结合所给的选项应选C，

故选：C．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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