两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sinxcox+cos2x．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间[-，]上的最大值和最小值．

正确答案

解：（1）化简可得

=sin2x+=sin（2x+）+，

∴求f（x）的最小正周期T==π；

（2）∵x∈，

∴2x+∈[，]，

∴sin（2x+）∈[，1]，

∴f（x）∈[0，]，

∴f（x）在区间上的最大值和最小值分别为：，0

解析

解：（1）化简可得

=sin2x+=sin（2x+）+，

∴求f（x）的最小正周期T==π；

（2）∵x∈，

∴2x+∈[，]，

∴sin（2x+）∈[，1]，

∴f（x）∈[0，]，

∴f（x）在区间上的最大值和最小值分别为：，0

题型：单选题

单选题

已知α∈（，3π），化简+=（　　）

A-2cos

B2cos

C-2sin

D2sin

正确答案

解析

解：+==|sin-cos|+|sin+cos|，

∵α∈（，3π），

∴∈（，），

∴sin＜cos＜0，

则=|sin-cos|+|sin+cos|=-（sin-cos）-（sin+cos）=-2sin，

故选：C

题型：简答题

简答题

已知f（x）=cosωx•sinωx+cos2ωx-（0＜ω≤1），且满足f（x+π）=f（x）

（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；

（Ⅱ）求当x∈[-，]时，y=f（x）的取值范围；

（Ⅲ）若关于x的方程3[f（x）]2+m•f（x）-1=0在x∈[-，]时有三个不相等实根，求m的值．

正确答案

解：（Ⅰ）f（x）=cosωx•sinωx+cos2ωx-=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），

∵f（x+π）=f（x），∴T=π，

∴=π，

∴ω=1，

∴f（x）=sin（2x+）；

（Ⅱ）当x∈[-，]时，2x+∈[，]，∴sin（2ωx+）∈[-，1]，

∴f（x）∈[-，1]；

（Ⅲ）∵关于x的方程3[f（x）]2+m•f（x）-1=0在x∈[-，]时有三个不相等实根，

∴f（x）=1满足方程，

∴m=-2．

解析

解：（Ⅰ）f（x）=cosωx•sinωx+cos2ωx-=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），

∵f（x+π）=f（x），∴T=π，

∴=π，

∴ω=1，

∴f（x）=sin（2x+）；

（Ⅱ）当x∈[-，]时，2x+∈[，]，∴sin（2ωx+）∈[-，1]，

∴f（x）∈[-，1]；

（Ⅲ）∵关于x的方程3[f（x）]2+m•f（x）-1=0在x∈[-，]时有三个不相等实根，

∴f（x）=1满足方程，

∴m=-2．

题型：单选题

单选题

设cos（-α）=，则sin2α=（　　）

A-

B-

正确答案

解析

解：∵cos（-α）=，

∴cos（）=2cos2（-α）-1=-，

由诱导公式可得sin2α=cos（）=-，

故选：A

题型：简答题

简答题

求证：1+2cos2θ-cos2θ=2．

正确答案

证明：∵1+2cos2θ-cos2θ=1+2cos2θ-（cos2θ-sin2θ）=1+cos2θ+sin2θ=2，

∴1+2cos2θ-cos2θ=2成立．

解析

证明：∵1+2cos2θ-cos2θ=1+2cos2θ-（cos2θ-sin2θ）=1+cos2θ+sin2θ=2，

∴1+2cos2θ-cos2θ=2成立．

题型：简答题

简答题

已知函数，（ω＞0）的最小正周期为4π．

（1）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=π对称，求y=g（x）的单调递增区间．

（2）在△ABC中角A，B，C，的对边分别是a，b，c满足（2a-c）cosB=b•cosC，求函数f（A）的取值范围．

正确答案

解：（1）∵==，

又，，

∵y=g（x）与y=f（x）关于x=π对称，

∴，

由可得：，（k∈z）

∴g（x）的单调递增区间是（k∈z）；

（2）由正弦定理：（2sinA-sinC）cosB=sinB•cosC，2sinAcosB=sin（B+C）

∵sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0

∴，，

∴，

∴

解析

解：（1）∵==，

又，，

∵y=g（x）与y=f（x）关于x=π对称，

∴，

由可得：，（k∈z）

∴g（x）的单调递增区间是（k∈z）；

（2）由正弦定理：（2sinA-sinC）cosB=sinB•cosC，2sinAcosB=sin（B+C）

∵sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0

∴，，

∴，

∴

题型：单选题

单选题

若在△ABC中，有sin=cosA，则△ABC一定是（　　）

A锐角三角形

B钝角三角形

C直角三角形

D等腰三角形

正确答案

解析

解：∵sin=cosA，

∴+A=90°，

∴C角的角平分线和AB边垂直，

∴△ABC一定是等腰三角形．

故选：D．

题型：简答题

简答题

变式3（倍角）若，，求的值．

正确答案

解：∵

∴

平方得

∴，

即．

∴．

解析

解：∵

∴

平方得

∴，

即．

∴．

题型：简答题

简答题

已知函数．

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若，且，求sin2α的值．

正确答案

解：（1）．

所以函数f（x）的最小正周期．…（6分）

（2）由题，得，

因为，则，

则，…（9分）

所以．…（14分）

解析

解：（1）．

所以函数f（x）的最小正周期．…（6分）

（2）由题，得，

因为，则，

则，…（9分）

所以．…（14分）

题型：填空题

填空题

已知在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，他们的终边分别与单位圆交于A，B，A，B的横坐标分别为，，则α+2β的值为______．

正确答案

解析

解：由题意可得cosα=，cosβ=，∴sinα==，sinβ==，

∴sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β-1=，∴2β仍为锐角，α+2β∈（0，π）．

∴cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=-=-，

∴α+2β=．

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