两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=a（2cos2+sinx）+b．

（I）当a=1时，求函数f （x）的单调递增区间；

（Ⅱ）当a＜0且x∈[0，π]时，函数f （x）的值域是[3，4]，求a+b的值．

正确答案

解：

=a（cosx+1+sinx）+b

=asin（x+）+a+b，（2分）

（I）当a=1时，f（x）=asin（x+）+1+b，

∴当2kπ-≤x+≤2kπ+（k∈Z）时，f（x）是增函数，

解得：2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z），

则函数f（x）的单调递增区间为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）；（7分）

（II）由0≤x≤π，得到≤x+≤，

∴-≤sin（x+）≤1，（9分）

∵a＜0，∴当sin（x+）=1时，f（x）取最小值，即a+a+b=3①，

当sin（x+）=-时，f（x）取最大值4，即b=4，

将b=4代入①式，解得a=1-，

则a+b=5-．（13分）

解析

解：

=a（cosx+1+sinx）+b

=asin（x+）+a+b，（2分）

（I）当a=1时，f（x）=asin（x+）+1+b，

∴当2kπ-≤x+≤2kπ+（k∈Z）时，f（x）是增函数，

解得：2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z），

则函数f（x）的单调递增区间为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）；（7分）

（II）由0≤x≤π，得到≤x+≤，

∴-≤sin（x+）≤1，（9分）

∵a＜0，∴当sin（x+）=1时，f（x）取最小值，即a+a+b=3①，

当sin（x+）=-时，f（x）取最大值4，即b=4，

将b=4代入①式，解得a=1-，

则a+b=5-．（13分）

题型：填空题

填空题

已知关于x的方程sinx+cos2x+a=0有实数解，则实数a的取值范围是______．

正确答案

解析

解：∵cos2x+sinx

=1-2sin2x+sinx

=-2（sinx-）2+

又∵-1≤sinx≤1

∴-2≤-2（sinx-）2+≤

∴-2≤-2cos2x+sinx≤

则方程cos2x+sinx=-a有实数解

∴-2≤-a≤

故实数a的取值范围-≤a≤2

题型：单选题

单选题

已知，且，则tan2ϕ为（　　）

正确答案

解析

解：因为，

所以sinϕ=-，则cosϕ==，

tanϕ=，

tan2ϕ===．

故选D．

题型：简答题

简答题

已知tanα=2，tanβ=，α、．求：

（1）tan（2α+β）的值；

（2）2α+β的值．

正确答案

解：（1）（法一）因为tanα=2，tanβ=，

所以tan（α+β）===3，…（3分）

则tan（2α+β）=tan[α+（α+β）]===-1，

因此tan（2α+β）=-1．…（7分）

（法二）因为tanα=2，tanβ=，

所以tan2α===-，…（3分）

则tan（2α+β）===-1．

因此tan（2α+β）=-1．…（7分）

（2）因为α、β∈（0，），所以2α+β∈（0，），…（9分）

又由（1）知tan（2α+β）=-1，

所以2α+β=．…（10分）

解析

解：（1）（法一）因为tanα=2，tanβ=，

所以tan（α+β）===3，…（3分）

则tan（2α+β）=tan[α+（α+β）]===-1，

因此tan（2α+β）=-1．…（7分）

（法二）因为tanα=2，tanβ=，

所以tan2α===-，…（3分）

则tan（2α+β）===-1．

因此tan（2α+β）=-1．…（7分）

（2）因为α、β∈（0，），所以2α+β∈（0，），…（9分）

又由（1）知tan（2α+β）=-1，

所以2α+β=．…（10分）

题型：填空题

填空题

函数的单调减区间是______．

正确答案

解析

解：

=2[1-cos（+2x）]-2cos2x-2

=4（sin2x-cos2x）

=4sin（2x-），

当2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，即kπ+≤x≤kπ+时，

正弦函数sin（2x-）单调递减，

则函数f（x）的单调减区间是．

故答案为：

题型：填空题

填空题

（2016•临沂一模）若tanα=2，则sin2α=______．

正确答案

解析

解：∵tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα===，

故答案为．

题型：填空题

填空题

若△ABC的内角A满足，则cosA-sinA=______．

正确答案

解析

解：由于（cosA-sinA）2=1-sin2A=，

由已知，A为△ABC的内角，所以sinA＞0，

而，

所以cosA＜0，A为钝角．

所以cosA-sinA=-=

故答案为：

题型：填空题

填空题

已知cosθ=，θ∈（2π，），则sin-cos=______．

正确答案

解析

解：∵cosθ=，θ∈（2π，），

∴sinθ=，

∴（sin-cos）2=1-sinθ=，

∵θ∈（2π，），

∴∈（π，）

∴sin-cos=．

故答案为：．

题型：单选题

单选题

若θ∈（0，），sinθ-cosθ=，则cos2θ等于（　　）

B-

C±

D±

正确答案

解析

解：∵（sinθ-cosθ）2=

∴2sinθcosθ=

∵θ∈（0，），

∴sinθ＞0，cosθ＞0

∴sinθ+cosθ==，

cos2θ=cos2θ-sin2θ=（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ）=×（-）=-，

故选B．

题型：单选题

单选题

若，则cos2θ的值为（　　）

正确答案

解析

解：由题意，∵

∴

故选A．

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