两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=（sin2x+cos2x）2+3-2sin22x．

（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；

（2）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到的，当时，求y=g（x）的值域．

正确答案

解：（1）因为f（x）=（sin2x+cos2x）2+3-2sin22x，=，

所以，函数f（x）的最小正周期．

令 4x+=kπ，k∈z，解得 x=，故函数的对称中心为．

（2）依题意得，．

因为，所以．

当，即时，g（x）取最大值为；

当，即x=0，g（x）取最小值为 2，

故所求函数的值域为．

解析

解：（1）因为f（x）=（sin2x+cos2x）2+3-2sin22x，=，

所以，函数f（x）的最小正周期．

令 4x+=kπ，k∈z，解得 x=，故函数的对称中心为．

（2）依题意得，．

因为，所以．

当，即时，g（x）取最大值为；

当，即x=0，g（x）取最小值为 2，

故所求函数的值域为．

题型：单选题

单选题

要得到函数y=f′（x）的图象，需将函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）的图象（　　）

A向左平移个单位

B向右平移个单位

C向左平移π个单位

D向右平移π个单位

正确答案

解析

解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），∴f‘（x）=cosx-sinx= （-x）=-sin（x-）=sin（x-+π）=sin（x+），

故将函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）的图象向左平移个单位可得f'（x）=sin（x+）的图象，

故选A．

题型：简答题

简答题

已知过点A（，1）和B（5，12），以x轴正半轴为始边按照逆时针旋转所形成的最小正角分别为α，β．

（1）求sinα和cosβ；

（2）求sin（2α+β）．

正确答案

解：（1）由三角函数定义知sinα==，cosβ==．

（2）由于0＜α，β＜，∴cosα==，sinβ==，

∴sin2α=2sinαcosα=，cos2α=2cosα2-1=，

∴sin（2α+β）=sin2αcosβ=cos2αsinβ=+=．

解析

解：（1）由三角函数定义知sinα==，cosβ==．

（2）由于0＜α，β＜，∴cosα==，sinβ==，

∴sin2α=2sinαcosα=，cos2α=2cosα2-1=，

∴sin（2α+β）=sin2αcosβ=cos2αsinβ=+=．

题型：单选题

单选题

函数f（x）=sinx+cosx在[0，π]上的值域为（　　）

A[-，2]

B[0，2]

C[-，]

D[0，]

正确答案

解析

解：化简可得f（x）=sinx+cosx

=2（sinx+cosx）=2sin（x+），

∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，

∴sin（x+）∈[，1]，

∴2sin（x+）∈[，2]

故选：A

题型：单选题

单选题

函数y=3sinx-4cosx，x∈[0，π]的值域为（　　）

A[-5，5]

B[-4，5]

C[-3，5]

D[-4，3]

正确答案

解析

解：∵y=f（x）=3sinx-4cosx

=5（sinx-cosx）

=5sin（x+φ）（tanφ=-），

∵tanφ=-，令|φ|＜，

则-＜φ=arc（-）=-arc＜-，

又0≤x≤π，

∴-＜x+φ＜，

∴当x+φ=x-arc=时，y=f（x）=3sinx-4cosx取得最大值5；

又y=f（x）=3sinx-4cosx在[0，-arctan]上单调递增，在[-arctan，π]上单调递减，

∴ymin=f（0）=-4；

∴函数y=3sinx-4cosx，x∈[0，π]的值域为[-4，5]．

故选：B．

题型：填空题

填空题

函数y=|sinx|+|cosx|的值域是______．

正确答案

[1，]

解析

解：∵函数y=|sinx|+|cosx|的值域⇔当x∈[0，]时，y=sinx+cosx的值域，

又y=sinx+cosx=sin（x+），

∴当x∈[0，]时，x+∈[，]，

∴≤sin（x+）≤1，

∴sin（x+）∈[1，]，

∴函数y=|sinx|+|cosx|的值域是[1，]，

故答案为：[1，]．

题型：填空题

填空题

已，sinθ=______．

正确答案

解析

解：∵sin（）=sinθcos+cosθsin=（sinθ+cosθ）=，

∴sinθ+cosθ=①，又sin2θ+cos2θ=1②，

联立①②消去cosθ得：18sin2θ-6sinθ-7=0，

解得：sinθ=或sinθ=，

∵，sinθ=不合题意舍去，

∴sinθ=．

故答案为：

题型：填空题

填空题

已知函数y=sin（πx+φ）-2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ______．

正确答案

解析

解：y=sin（πx+φ）-2cos（πx+φ）=sin（πx+φ-α），其中sinα=，cosα=．

∵函数的图象关于直线x=1对称，

∴π+φ-α=+kπ，

即φ=α-+kπ，

则sin2φ=sin2（α-+kπ）=sin（2α-π+2kπ）=sin（2α-π）=-sin2α=-2sinαcosα

=-2××=，

故答案为：

题型：简答题

简答题

已知向量=（sinθ，1），=（cosθ，），且∥，其中θ∈（0，）．

（1）求θ的值；

（2）若sin（x-θ）=，0＜x＜，求cosx的值．

正确答案

解：（1）由∥，得sinθ×-cosθ×1=0，

所以tanθ=，又θ∈（0，），

所以；

（2）sin（x-θ）=，即sin（x-）=，

因为0＜x＜，所以-＜x-＜，

所以cos（x-）==，

所以cosx=cos[（x-）+]=cos（x-）cos-sin（x-）sin=-×=．

解析

解：（1）由∥，得sinθ×-cosθ×1=0，

所以tanθ=，又θ∈（0，），

所以；

（2）sin（x-θ）=，即sin（x-）=，

因为0＜x＜，所以-＜x-＜，

所以cos（x-）==，

所以cosx=cos[（x-）+]=cos（x-）cos-sin（x-）sin=-×=．

题型：填空题

填空题

设函数f（θ）=sinθ+cosθ，其中θ的顶点与坐标原点重合，始终与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y）且0≤θ≤π．

（1）若点P的坐标为，则f（θ）的值为______

（2）若点P（x，y）为平面区域Ω：内的一个动点，记f（θ）的最大值为M，最小值m，则logMm=______．

正确答案

解析

解：f（θ）=sinθ+cosθ=2（sinθ+cosθ）=2sin（）．

（1）由P的坐标为，则θ=，f（θ）=2sin（）=2sin=2；

（2）平面区域Ω：如图：

则P位于点（0，1）处，θ最大，位于点（1，0）处最小，即0，

即有≤，

则f（θ）的最大值为M=f（）=2，最小值为m=f（0）=1，

则logMm=log21=0．

故答案为：2，0．

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