两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：简答题

简答题

在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，∠BAC=θ，a=4．

（Ⅰ）求b•c的最大值及θ的取值范围；

（Ⅱ）求函数的最值．

正确答案

解：（Ⅰ）因为=bc•cosθ=8，

根据余弦定理得：b2+c2-2bccosθ=42，

即b2+c2=32，（2分）

又b2+c2≥2bc，所以bc≤16，即bc的最大值为16，（4分）

即，

所以，又0＜θ＜π，

所以0＜θ；（6分）

（Ⅱ）=，（9分）

因0＜θ，所以＜，，（10分）

当即时，，（11分）

当即时，f（θ）max=2×1+1=3．（12分）

解析

解：（Ⅰ）因为=bc•cosθ=8，

根据余弦定理得：b2+c2-2bccosθ=42，

即b2+c2=32，（2分）

又b2+c2≥2bc，所以bc≤16，即bc的最大值为16，（4分）

即，

所以，又0＜θ＜π，

所以0＜θ；（6分）

（Ⅱ）=，（9分）

因0＜θ，所以＜，，（10分）

当即时，，（11分）

当即时，f（θ）max=2×1+1=3．（12分）

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若b=5，sinBsinC=，求△ABC的面积S．

正确答案

解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得

2cos2A+3cos A-2=0，即（2cos A-1）（cos A+2）=0．----（2分）

解得cos A=或cos A=-2（舍去）．----（4分）

因为0＜A＜π，所以A=．-----（6分）

（II）又由正弦定理，得sinBsinC=sin A•sin A=•sin2A═．---（8分）

解得：bc=，

由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，又b=5，所以c=4或c=----（10分）

所以可得：S=bcsinA=bc•=bc=5或S=----（12分）

解析

解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得

2cos2A+3cos A-2=0，即（2cos A-1）（cos A+2）=0．----（2分）

解得cos A=或cos A=-2（舍去）．----（4分）

因为0＜A＜π，所以A=．-----（6分）

（II）又由正弦定理，得sinBsinC=sin A•sin A=•sin2A═．---（8分）

解得：bc=，

由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，又b=5，所以c=4或c=----（10分）

所以可得：S=bcsinA=bc•=bc=5或S=----（12分）

题型：简答题

简答题

如图，角α 的顶点在直角坐标原点、始边在y轴的正半轴、终边经过点P（-3，-4）．角β 的顶点在直角坐标原点、始边在x 轴的正半轴，终边OQ落在第二象限，且tanβ=-2．

（1）求角α 的正弦值；

（2）求∠POQ的余弦值．

正确答案

解：（1）依题意，角的顶点在直角坐标原点，始边在y轴的正半轴、终边经过点P（-3，-4），…2

∴|OP|=5，…3

∴cos （）=-，…5

∴sinα=，即角α 的正弦值为．

（2）法一：cos∠POQ=cos（-β）…8

=cos（）cosβ-sin（）sinβ…9

又cos （）=-，sin（）=-…10

∵tanβ=-2，β在第二象限，

∴sinβ=，cosβ=-，…11

∴cos∠POQ=（-）×（-）+（-）×=-，…12

（2）法二：∵角β 的顶点在直角坐标原点、始边在x轴的正半轴，终边OQ落在第二象限，

且tanβ=-2，

∴可在角β 的终边上取一点Q（-1，2）． …（8分）

∴=（-1，2），=（-3，-4），∠POQ是与的夹角． …（9分）

…（10分）

==． …（12分）

注：第（1）题以下解法给（3分），∵角α的终边经过点P（-3，-4），∴|OP|=5，∴，即角α 的正弦值为．第（2）题根据，计算全部正确的给（6分）．

解析

解：（1）依题意，角的顶点在直角坐标原点，始边在y轴的正半轴、终边经过点P（-3，-4），…2

∴|OP|=5，…3

∴cos （）=-，…5

∴sinα=，即角α 的正弦值为．

（2）法一：cos∠POQ=cos（-β）…8

=cos（）cosβ-sin（）sinβ…9

又cos （）=-，sin（）=-…10

∵tanβ=-2，β在第二象限，

∴sinβ=，cosβ=-，…11

∴cos∠POQ=（-）×（-）+（-）×=-，…12

（2）法二：∵角β 的顶点在直角坐标原点、始边在x轴的正半轴，终边OQ落在第二象限，

且tanβ=-2，

∴可在角β 的终边上取一点Q（-1，2）． …（8分）

∴=（-1，2），=（-3，-4），∠POQ是与的夹角． …（9分）

…（10分）

==． …（12分）

注：第（1）题以下解法给（3分），∵角α的终边经过点P（-3，-4），∴|OP|=5，∴，即角α 的正弦值为．第（2）题根据，计算全部正确的给（6分）．

题型：填空题

填空题

已知α为锐角，cosα=，则sin（+α）=______．

正确答案

解析

解：∵α为锐角，cosα=，则sinα=，

∴sin（+α）=sincosα+cossinα=+=，

故答案为：．

题型：填空题

填空题

已知向量，，x∈[0，π]，则的取值范围为______．

正确答案

[0，2]

解析

解：∵，，

∴=（cos+cos，sin-sin），

∴==

=，

∵x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π]，∴-1≤cos2x≤1，即]0≤2+2cos2x≤4，

∴的范围是[0，2]．

故答案为：[0，2]．

题型：单选题

单选题

若tanα=4，，则tan（α+β）=（　　）

A-

C-

正确答案

解析

解：因为，

所以tanβ=3，

所以tan（α+β）==

故选A．

题型：单选题

单选题

函数f（x）=sinx在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=-1，f（b）=1，则sin的值为（　　）

C-1

正确答案

解析

解：若数f（x）=sinx在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=-1，f（b）=1，

则a=2kπ-，b=2kπ+，k∈Z

∴sin=sin2kπ=0

故选D

题型：填空题

填空题

已知，则sin（2α+β）=______．

正确答案

解析

解：∵cos（α+β）=-1，

∴α+β=2kπ+π（k∈Z），

又sinα=，

∴sin（2α+β）=sin[（α+β）+α]=sin（2kπ+π+α）=-sinα=-．

故答案为：-．

题型：填空题

填空题

若cosα=-，α∈（，π），则sin（α+）=______．

正确答案

解析

解：由α∈（，π），cosα=-，

得到sinα==，

则sin（α+）=sinαcos+cosαsin

=×-×=．

故答案为：

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=2cos2-sinx

（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；

（2）若α为第二象限角，且cosα=-，求的值．

正确答案

解：（1）函数f（x）=2cos2-sinx=1+cosx-sinx=1+2（cosx-sinx）=1+2cos（x+），

故函数的周期为 =2π，值域为[-1，3]．

（2）由于α为第二象限角，且cosα=-，∴sinα=，

故 ====．

解析

解：（1）函数f（x）=2cos2-sinx=1+cosx-sinx=1+2（cosx-sinx）=1+2cos（x+），

故函数的周期为 =2π，值域为[-1，3]．

（2）由于α为第二象限角，且cosα=-，∴sinα=，

故 ====．

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