两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：简答题

简答题

已知f（x）=sin2（2x-）-2t•sin（2x-）+t2-6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．

（1）求g（t）的表达式；

（2）当-≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．

正确答案

解：（1）∵x∈[，]，

∴sin（2x-）∈[-，1]，

∴f（x）=[sin（2x--t]2-6t+1，

当t＜-时，则当sinx=-时，f（x）min=；

当-≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=-6t+1；

当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2-8t+2；

∴g（t）=

（2）当时，g（t）=-6t+1．令h（t）=g（t）-kt．

欲使g（t）=kt有一个实根，则只需使或即可．

解得k≤-8或k≥-5．

解析

解：（1）∵x∈[，]，

∴sin（2x-）∈[-，1]，

∴f（x）=[sin（2x--t]2-6t+1，

当t＜-时，则当sinx=-时，f（x）min=；

当-≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=-6t+1；

当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2-8t+2；

∴g（t）=

（2）当时，g（t）=-6t+1．令h（t）=g（t）-kt．

欲使g（t）=kt有一个实根，则只需使或即可．

解得k≤-8或k≥-5．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sin（ωx），其中常数ω＞0．

（1）若y=f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为，求ω的值；

（2）在（1）的条件下，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．

正确答案

解：（1）若y=f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为，

则函数的周期T=2×=π，

即=π，解得ω=2；

（2）∵ω=2，∴函数f（x）=sin2x，

将y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=sin2（x-），

再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）=sin2（x-）+1=sin（2x-）-1．

由g（x）=sin（2x-）-1=0．

得sin（2x-）=．

即2x-=2kπ+或2x-=2kπ+，

即x=kπ+或x=kπ+，

∵区间为[0，b]，

∴当k=0，1，2，3，4时，有10个零点，第10个零点为x=4π+=，

若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，

则b≥，

即b的最小值为．

解析

解：（1）若y=f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为，

则函数的周期T=2×=π，

即=π，解得ω=2；

（2）∵ω=2，∴函数f（x）=sin2x，

将y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=sin2（x-），

再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）=sin2（x-）+1=sin（2x-）-1．

由g（x）=sin（2x-）-1=0．

得sin（2x-）=．

即2x-=2kπ+或2x-=2kπ+，

即x=kπ+或x=kπ+，

∵区间为[0，b]，

∴当k=0，1，2，3，4时，有10个零点，第10个零点为x=4π+=，

若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，

则b≥，

即b的最小值为．

题型：单选题

单选题

函数的单调递增区间是（　　）

A（2kπ-π，2kπ-）（k∈Z）

B（2kπ-，2kπ+）（k∈Z）

C（2kπ-，2k）（k∈Z）

D（kπ-，k）（k∈Z）

正确答案

解析

解：由于函数==

===tan（+），

令 kπ-＜+＜kπ+，k∈z，求得 x∈（2kπ-，2k）（k∈Z），

故函数的增区间为（2kπ-，2k）（k∈Z），

故选C．

题型：简答题

简答题

已知α为第二象限的角，为第三象限的角，．

（1）求tan（α+β）的值；

（2）求cos（2α-β）的值．

正确答案

解：（1）∵α为第二象限的角，且

∴cosα=-=-

∴tanα==-，又

∴tan（α+β）===

（2）∵β为第三象限的角，

∴sinβ=，cosβ=，

又sin2α=2sinαcosα=，cos2α=1-2sin2α=

∴cos（2α-β）=cos2αcosβ+sin2αsinβ

解析

解：（1）∵α为第二象限的角，且

∴cosα=-=-

∴tanα==-，又

∴tan（α+β）===

（2）∵β为第三象限的角，

∴sinβ=，cosβ=，

又sin2α=2sinαcosα=，cos2α=1-2sin2α=

∴cos（2α-β）=cos2αcosβ+sin2αsinβ

题型：单选题

单选题

已知tan（α+β）=，tan（β-）=，则tan（α+）=（　　）

D-1

正确答案

解析

解：α+=（α+β）-（β-），tan（α+β）=，tan（β-）=，

∴tan（α+）=tan[（α+β）-（β-）]===．

故选：B．

题型：填空题

填空题

在△ABC中，sinA+cosA=，AC=4，AB=5，则△ABC的面积是______．

正确答案

解析

解：∵sinA+cosA=sin（A+）=，

∴sin（A+）=，

∴A+=（舍去），或A+=，即A=，

∴sinA=sin=sin（+）=cos=，

则△ABC的面积为AC•ABsinA=．

故答案为：

题型：单选题

单选题

函数的最小正周期是（　　）

Cπ

D2π

正确答案

解析

解：∵函数

由周期公式T==

故选C．

题型：填空题

填空题

计算：sin10°cos20°sin30°cos40°=______．

正确答案

解析

解：sin10°cos20°sin30°cos40°

=cos20°sin30°cos40°cos80°

=．

故答案为：．

题型：填空题

填空题

已知角α的终边经过点（-3，4），则sin2α=______．

正确答案

解析

解：∵α的终边经过点（-3，4），则sinα=，cos α=，∴sin2α=2sinαcosα=，

故答案为．

题型：简答题

简答题

已知函数，

（1）求函数f（x）的周期及最大值；

（2）若将f（x）的图象向左平移后，再将所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的值域．

正确答案

解：

=（1+cos2x）-sin2x-

=cos2x-sin2x

=2cos（2x+），

（1）∵ω=2，∴T==π；

又cos（2x+）∈[-1，1]，

∴函数f（x）的最大值为2；

（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位后，

得到函数f（x）=2cos（2x++）=-2sin（2x+），

再将所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到函数g（x）的图象，

则g（x）的解析式为：，

∵x∈，∴4x+∈[-，]，

∴sin（4x+）∈[-，1]，

则的值域为[-2，1]．

解析

解：

=（1+cos2x）-sin2x-

=cos2x-sin2x

=2cos（2x+），

（1）∵ω=2，∴T==π；

又cos（2x+）∈[-1，1]，

∴函数f（x）的最大值为2；

（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位后，

得到函数f（x）=2cos（2x++）=-2sin（2x+），

再将所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到函数g（x）的图象，

则g（x）的解析式为：，

∵x∈，∴4x+∈[-，]，

∴sin（4x+）∈[-，1]，

则的值域为[-2，1]．

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