两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：填空题

填空题

已知，满足tan（α+β）-2tanβ=0，则tanα的最大值是______．

正确答案

解析

解：∵tan（α+β）-2tanβ=0，

∴tan（α+β）=2tanβ，

∴=2tanβ，

∴2tanαtan2β-tanβ+tanα=0，①

∴α，β∈（，2π），

∴方程①有两负根，tanα＜0，

∴△=1-8tan2α≥0，

∴tan2α≤，

∴tanα≤-；

即tanα的最大值是-．

故答案为：-．

题型：单选题

单选题

函数f（x）=sinxcosx是（　　）

A最小正周期为2π且在[0，π]内有且只有三个零点的函数

B最小正周期为2π且在[0，π]内有且只有二个零点的函数

C最小正周期为π且在[0，π]内有且只有三个零点的函数

D最小正周期为π且在[0，π]内有且只有二个零点的函数

正确答案

解析

解：函数f（x）=sinxcosx=sin2x，

则最小正周期为=π，

在[0，π]内，令f（x）=0，则x=0，，π，即有3个零点，

故选C．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．

（1）求函数f（x）的单调增区间；

（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（C）=3，且c=，a=2，求b的值．

正确答案

解析：（1）函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=（1-cos2x）+sin2x+（1+cos2x）=sin（2x+）+2，

由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，

∴函数f（x）的单调增区间是[kπ-，kπ+]，k∈z．

（2）在△ABC中，∵f（C）=sin（2C+）+2=3，∴sin（2C+）=，∴C=．

由c=，a=2 以及正弦定理得：，解得 sinA=1，A=，故 B=C=，

故 b=c=．

解析

解析：（1）函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=（1-cos2x）+sin2x+（1+cos2x）=sin（2x+）+2，

由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，

∴函数f（x）的单调增区间是[kπ-，kπ+]，k∈z．

（2）在△ABC中，∵f（C）=sin（2C+）+2=3，∴sin（2C+）=，∴C=．

由c=，a=2 以及正弦定理得：，解得 sinA=1，A=，故 B=C=，

故 b=c=．

题型：单选题

单选题

sin275°+sin215°+sin75°•sin15°的值是（　　）

正确答案

解析

解：由题意得，式子=sin2（90°-15°）+sin215°+sin（90°-15°）•sin15°

=cos215°+sin215°+cos15°•sin15°

=1+sin30°=，

故选C．

题型：填空题

填空题

设0＜x＜π，则函数y=2-cosxsinx的最小值是______．

正确答案

解析

解：∵0＜x＜π，函数y=2-cosxsinx=2-sin2x，

∴2x∈（0，2π），故当2x=，即x=时，y=2-sin2x 取得最小值为2-=，

故答案为：．

题型：填空题

填空题

已知角A、B、C是△ABC 的内角，a，b，c 分别是其对边长，向量，，，且a=2，．则b=______．

正确答案

解析

解：∵，

∴，

∴，（4分）

∴，（6分）

∵0＜A＜π，∴，

∴，（8分）∴；（9分）

在△ABC中，，a=2，，

∴，（10分）

由正弦定理知：，（11分）

∴═．

∴b=．（13分）

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=cos2xsin2x．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意得，

则f（x）的最小正周期T=π

（Ⅱ）∵，∴，

当=时，即x=时，f（x）的最大值为1+，

当=0时，即x=时，f（x）的最小值为．

解析

解：（Ⅰ）由题意得，

则f（x）的最小正周期T=π

（Ⅱ）∵，∴，

当=时，即x=时，f（x）的最大值为1+，

当=0时，即x=时，f（x）的最小值为．

题型：填空题

填空题

已知函数f（x）=asin2x+cos（2x+）的最大值为1，则a=______．

正确答案

0或

解析

解：∵函数f（x）=asin2x+cos（2x+）

=asin2x+cos2xcos-sin2xsin

=asin2x+cos2x-sin2x

=（a-）sin2x+cos2x

=sin（2x+θ），

∴f（x）max═

∴=1，

两边平方，得

（a-）2+=1，

∴|a-|=，

∴a=0或．

故答案为：0或．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）由函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+），

即f（x）=sin2ωx+sinωxcosωx，

则

=，

∵，∴ω=1．

（Ⅱ），

∵，∴．

∴．

∴函数f（x）在区间上的取值范围．

解析

解：（Ⅰ）由函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+），

即f（x）=sin2ωx+sinωxcosωx，

则

=，

∵，∴ω=1．

（Ⅱ），

∵，∴．

∴．

∴函数f（x）在区间上的取值范围．

题型：填空题

填空题

已知α，β为锐角，且，，则sin（α+β）=______．

正确答案

解析

解：∵α，β为锐角，且，，∴sinα=，cosα=，

sinβ=．

∴sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ=+=，

故答案为：．

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